§ 2d. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. III. Структура распределений в центральной области

Ниже мы подробнее останавливаемся на результатах работы [330] относительно использования устойчивых законов при описании индекса S&P500 в его центральной зоне.

По поводу других финансовых показателей сошлемся на работу [127], где проводится детальный статистический анализ финансовых показателей десяти крупнейших немецких компаний и банков и делается вывод, что гиперболическое распределение исключительно хорошо действует в центральной области.

В § Id, гл. III, мы дали подробное описание этого класса гиперболических распределений, который вместе с классом устойчивых образует достаточно богатый арсенал теоретических распределений. Поскольку и гиперболические., и устойчивые распределения описываются четырьмя параметрами, то можно надеяться, что варьированием этих параметров можно добиваться хорошего согласия теории и эксперимента.

ни А:

*Stk = Stk-Stk_ (1)

где tk = fcA, интервал А пробегает ряд значений от 1 мин. до 103 мин. (В работе [330] А принимает следующие значения: Д = 1, 3, 10, 32, 100, 316 и 1000 - в минутах; соответствующее интервалу А = 1 мин. количество тиков равно 493 545, а при А = 1000 мин. это число равно 562.)

Если пользоваться обозначениями из § 2а, то можно заметить, что, по-скольку Stk ~ Stk и приращения AStk — Stk — Stk_1 малы,

откуда AStk « Stk_1hЭто (приближенное) соотношение показывает, что в случае независимости приращений (Stk — Stk_l) характер распределения < х) и условного распределения Р( AStk ^ х \\ Stk_1 = у) примерно один и тот же.

величин A3tk,

Даже простой визуальный анализ графиков log10Ptfc (х), приведенных в [330] для многих значений А, показывает, что плотности распределений

tk = fcA, предполагаемых одинаково распределенными, авторы [330] приводят графики log10 р ^ (х), которые схематически ведут себя так, как это изображено на рис. 35.

Рис. 35. Схематический график поведения log10p^A^ (х) при двух разных значениях Д

достаточно симметричны и начинают расплываться с ростом Д, убывая при х —У ±оо, но все же не так быстро, как это должно было бы быть для гауссовского распределения.

Наблюдаемые здесь одновершинность, симметричность, а также характер убывания эмпирических плотностей говорит о целесообразности обращения к симметричным устойчивым распределениям. Напомним, что характеристическая функция ср(9) = Еегвх устойчивых случайных величин X с симметричным распределением имеет вид (см. (14) в § 1 а, гл. III):

(2)

где ст^0и0<а^2. Таким образом, если принять гипотезу "устойчивости" то прежде всего надо было бы оценить значение параметра а.

Устойчивые распределения относятся к распределениям типа Парето. В симметричном случае (см. (7) и (8) в § 1а, гл. III) для 0 < а < 2

Р(|х| > я) ~ Сах~а, Х-УОО,

где са - некоторая константа, и для определения значения а можно было бы воспользоваться техникой оценивания, изложенной выше в § 2с. |

Однако авторы [330] справедливо отмечают, что недостаточное число |

наблюдений делает этот метод оценивания параметра а не совсем надежным, поскольку он требует большого числа экстремальных значений. Поэтому вместо этого авторы используют подход, который, наоборот, опери-рует литтть с центральными значениями наблюдений.

Суть этого подхода в следующем. \\

Пусть характеристическая функция і

имеет вид

<р(А)(0) = е-7Д|ЄГ. (З)

Тогда плотность (х) распределения P(A5\'tfc ^ х) по формуле обращения может быть представлена в виде

1

р(&~>{х) = - / е\'^^созвхёв.

я J о

При х = О

р<Д>(0) = і Г dB = . (4)

У К \' TV Jo жа(\'увА)1/а v >

Тем самым,

р("д)(0) =n"1/VA)(0). (5)

Конечно, этот результат можно было бы получить и без обращения к представлению (3), если воспользоваться самим определением устойчивых законов, согласно которому

Law(A5tl + Д5»а + • • • + Д5tJ = Law(Cn(5tl - Sto)), to — 0, (6)

и если знать результат о том, что

Сп = п1/"

(см. § 1а, гл.

Действительно, поскольку AStl + ASt2 + • ¦ • + AStn = St„ — So, то Law(5t„ - 5b) = Law(n1/a(5tl - 5b)).

Поэтому

р<пД)(а:) = п-^У^яп-1^), (7)

что при x = 0 приводит к формуле (5).

Соотношение (5) дает возможность по эмпирическим плотностям р (™Д)(0) с Д = 1 мин. и ті ~ 1,3,10,32,100,316,1000, переходя к логарифмам и применяя метод наименьших квадратов, получить оценку а "индекса устойчивости" а. (Выбор указанных значений п = 1,3,10,... связан с тем, что их log10 п почти равноотстоят друг от друга: log10 3 = 0.477, log10 10 = 1, log10 32 = 1.505,....)

Значение полученной в [330] таким способом опенки а таково:

а = 1.40 ± 0.05. (8)

Сразу отметим, что этот результат нельзя ни в коем случае рассматривать как противоречащий оценке a ~ 3.5 для "хвостового индекса а" полученной в п. 5, § 2с. Дело в том, что эти оценки получены при разных гипотезах относительно характера распределений. В одном случае этой гипотезой является гипотеза о принадлежности распределения к "устойчивому" типу, в другом же случае - к распределению типа Парето (для "хвостовых" значений). К тому же, и это немаловажно, в одном случае объектом исследования является обменный курс, а во втором- индекс S&P500. И, вообще говоря, нет никаких веских оснований считать характер поведения их рас-пределений одинаковым, поскольку они обусловлены разными экономическими причинами (интернациональным состоянием экономики - в случае обменных курсов, и внутренним состоянием экономики США - в случае индекса S&P500).

Заметим, что высказанная точка зрения относительно разного характера поведения обменных курсов и финансовых индексов типа S&P500, Dow,... подтверждается результатами 7?/Отметим также, что опенка (8) вычисляется по "центральным" значениям, а значение а ~ 3.5 - по "хвостовым" Поэтому несовпадение опенок лишь подтверждает высказанную ранее мысль о том, что в разных областях значений финансовые индексы описываются разными стандартными распределениями и какое-то одно, универсальное, распределение, видимо, найти трудно.

3.

Рассмотрим выборку объема к

(Д5 („),..., ASW), t\\n)-t?\\=nA, rl tk

с временным шагом пД, где Д = 1 мин. Если от этой выборки перейти к выборке

(n~1/aASt („),..., n-^ASr^), rl Тк

то эта новая выборка должна иметь то же самое распределение, что и

(AStl,...,AStk), U-U-і = Д.

Поэтому оцениваемые по этим выборкам одномерные плотности (одинаково распределенных) величин п_1/,аД5 (п) и AStl должны были бы быть,

согласно (7), "сильно похожими"

Приведенный в [330] график, полученный "наложением" (см. об этом методе п. 6 в § 2с, гл. III) трансформированных эмпирических плотностей для значений параметра Д, равных 1, 3, 10, 32, 100, 316, 1000 (в минутах), до- вольно-таки убедительно свидетельствует в пользу гипотезы устойчивого распределения (с параметром а « 1.40).

Коэффициент 7, входящий в (3), может быть оценен из (4) по эмпирической плотности р(л^(0) и оценке а ~ 1.40. Полученная опенка 7 для 7 равна 0.00375.