§2Ь. Экскурс во фрактальную геометрию

Однако, как указывал Б. Мандельброт (1984 г.): "Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой ..." Созданная им так называемая фрактальная геометрия как раз и призвана дать описание объектов, форм, явлений, ..., которые далеки от того, чтобы быть "простыми" и "симметричными" а наоборот, имеют весьма сложную структуру, но обладают, тем не менее, рядом свойств типа автомодельности, самоподобия, самовоспроизводимости и т. п.

Не преследуя цель дать математическое определение "фрактальной геометрии" и ее основного понятия "фрактала" но желая обратить внимание читателя на важность идеи фрактальности вообще и в финансовой математике в частности, дадим "определение" лишь на описательно-наглядном уровне.

Часто дается такое "рабочее определение": 11 Фрактал - это объект, части которого устроены так же, как и целое" (Термин фрактал, вве-денный Б. Мандельбротом в 1975 г., [315], происходит, видимо, от латинского "fractio (ecclesiastical Lat; feminine) - a breaking, breaking in pieces" см. [296]. (Breaking (англ.) - the action of break, fracture - ломать, перело-мить.)

Классическим примером такого объекта пространственно-фрактальной структуры является дерево ("части" - это ветки, "целое" - это ствол).

Другим наглядным примером является треугольник Серпинского,1) получаемый из сплошного ("черного") треугольника с удалением внутренности центрального треугольника и с последующим выниманием из каждого "черного" треугольника соответствующих внутренностей центральных треугольников (см.

Получаемые таким образом множества остающихся "черных" точек притягиваются к множеству (которое и называется треугольником Сер- пинского), являющемуся примером объектов, известных под названием аттракторы.

^Польский математик Waclaw Sierpinski (1882-1969) ввел "треугольник Сер- пинского" (в английской версии называемый также the "Sierpinski Gasket") и "ковер Серпинского" (the "Sierpinski Carpet") еще в 1916 году.

А А

Рис. 27. Последовательные конструкции треугольника Серпинского

Понятно, что треугольник Серпинского устроен так, что в нем слишком много пустот, и в этой связи естественным образом возникает вопрос о том, какова же "размерность" этого объекта.

Его нельзя, строго говоря, называть двумерным из-за большого количества "дыр" в то же самое время он, конечно, не является одномерным.

Этот простой пример показывает, что, видимо, треугольнику Серпин-ского можно приписать некоторую фрактальную, т.е. дробную, размерность. (При соответствующем определении эта "размерность" оказывается равной 1.58; см., например, [104], [428], [456].)

Треугольник Серпинского является примером симметричного фрактального объекта. В Природе же доминируют, конечно, "несимметричные фракталы" что связано с локальной случайностью их образования. Это не исключает, тем не менее, глобального детерминизма, в подтверждение чего сошлемся на пример получения треугольника Серпинского как результата действия следующей стохастической процедуры, [386].

Рассмотрим равносторонний треугольник с вершинами А ~ А(1,2), В = В(3,4) и С = С(5,6), где появление чисел 1,2,..., 6 станет ясно из следующего построения.

Выберем в треугольнике произвольным образом точку (а) и затем под-бросим "честным" образом правильный кубик, стороны которого занумерованы числами 1,2,..., 6. Если выпадет, скажем, "5" или "6" то соединим точку (а) с вершиной С = С(5,6) и пусть (Ь) есть середина отрезка, соединяющего эти точки.

от выпавшего результата аналогичным образом получим новую точку (с) и т. д.

Весьма замечательно, что ("почти всегда") предельное множество так получаемых точек (6), (с),... будет образовывать треугольник Серпинс- кого ("черные" точки на рис. 27).

Математикам хорошо известен другой "классический" пример множества с фрактальной структурой - канторово множество, введенное Г. Кантором (Georg Cantor; 1845-1918) в 1883 году как пример множества особой структуры (совершенное, т. е. замкнутое и без изолированных точек), являющееся нигде не плотным на числовой прямой и имеющее мощность континуума. Напомним, что это множество есть подмножество от-

ОО ? .

резка [0,1], образованное числами вида 22 ~~где ЄІ = 0 или 2. Геомет-

і=І 3\'

рически канторово множество получается из отрезка [0,1] выбрасыванием его центрального (открытого) интервала (|, |) с последующим выбрасыванием из оставшихся отрезков [0, и [|, 1] их центральных подынтервалов (|,|)и(|,|)ит.д. Суммарная длина выбрасываемых таким образом интервалов равна единице, но, тем не менее, оставшееся "редкое" множеством имеет, на самом деле, мощность континуума. Самоподобность канто- рова множества, т. е. то, что его "часть устроена так же, как и целое" ясна из самой геометрической конструкции этого множества, согласно которой это множество есть совокупность подмножеств, каждое из которых в "ми-ниатюре" таково же, как и все множество в целом.

Из иных известных объектов со свойствами автомодельности упомянем треугольник Паскаля (В. Pascal), снежинки Коха (Н. van Koch), кривую Пеано (G. Реапо), множества Жюлиа (G. Julia); см., например, [379].

Говоря выше о "размерности" мы не приводили точного определения (Ф. Хаусдорф - автор "хаусдорфовой размерности" - отмечал, что проблема "правильного" определения понятия "размерности" является очень трудной). Отсылая по этому поводу к специальной литературе (см., например, [104], [428], [456]), отметим лишь, что идея фрактальной размерности, скажем кривой на плоскости, весьма проста - эта размерность показывает степень заметания плоскости рассматриваемой кривой. Если эта кривая есть реализациях — (Xt)t^Q некоторого процесса, то ее фрак-тальная размерность тем выше, чем больше в (Xt)t^o "высокочастотных" составляющих.

Предположим теперь, что X = [Xt)t^.o ~ это некоторый стохастический, случайный процесс. В этом случае естественно давать определение "фрактальной размерности" не для отдельной реализации, а для всей совокупности реализаций. Эта идея приводит к понятию статистической фрактальной размерности, определение которой дается в следующем параграфе.