§ 2а. Статистический феномен автомодельности Харста

Пусть xi,..., хп - величины годичных уровней (скажем, Нила в некоторой его части) за п последовательных лет. "Хорошей" оценкой их среднего

п

значения будет величина ^Хп, где Хп = Y1 хк- Отклонение Хк за к по-

к=і

следовательных лет от среднего (эмпирического) значения, подсчитанного по данным за п лет, есть величина

Хк Хп,

п

и, следовательно, минимальным и максимальным отклонениями являются величины

mm

їіі( Хк — — -Хп) и maxf Хк — — Хп ). Сп V^ п / \\ п J

Обозначим

lZn = max

к<п

(хк - -Хп) - min (хк - -Хп) \\ П ) к^.п \\ П J

- величину размаха, характеризующую степень отклонения кумулятив-ных величин Хк от их среднего значения ?Хп за последовательные п лет: В своей экспериментальной практике Г. Харст, на самом деле, оперировал не с величинами TZni а с нормированными величинами Qn = 7Zn/Sn, где Sn - эмпирическое стандартное отклонение,

Sn —

*=і х к=х /

вводимое с целью получения статистики, инвариантном относительно за-мены

хк с(хк +т), к > 1,

что является желательным свойством, поскольку даже среднее значение и дисперсия величин Хк, как правило, являются неизвестными.

Основываясь на большом фактическом материале наблюдений за стоками Нила в период 622-1469 гг. (т.е. за 847 лет), Г. Харст обнаружил, что для больших значений п статистика 1Zn/Sn "ведет" себя следующим образом:

спш, (1)

<->п

где с - некоторая константа, эквивалентность понимается в некотором подходящем смысле, а параметр Н, называемый теперь показателем Хар- ста, оказался примерно равным 0.7.

Пусть xi, xi, ¦ • • -последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Ее„ = 0, Еж2 = 1. (Именно это и ожидалось Г. Харстом.) Тогда, как показано В. Феллером, при больших п

г^-т, /я"2

~ \\~6 2/\'

Поскольку в рассматриваемом случае асимптотически 1 (с вероятностью единила), то естественно, что при больших п величины Qn должны расти (по крайней мере в среднем) как п1//2.

При исследовании статистических свойств последовательности (хп)„^ і вполне естественно было бы поинтересоваться и структурой эмпирической функции распределения Lawfrrj ч (- хп), найденной по (большому) чис-лу выборок, скажем, (жі,..., хп), (жп-ц,..., Х2п),.... В случае, когда Хк являются отклонениями в уровне реки от некоторого "среднего" значения, обнаруживается (например, опять же для Нила), что

Law(:ri + f- хп) ~ Law(nH:ri), (2)

гдеН > 1/2.

Как же и за счет каких вероятностно-статистических свойств последовательности (хп) в (2) параметр Н может оказаться отличным от 1/2?

Если обратиться к формуле (4) из § 1а, то одно из объяснений значения параметра Н ~ 0.7 могло бы состоять в том, что xi,x2,... являются независимыми устойчивыми случайными величинами с индексом ус-тойчивости а \' 1/Н ~ 1.48.

Но есть и другое объяснение, состоящее в том, что свойство (2) с В ^ 1/2 может возникнуть даже в случае нормально распределенных величин х\\,х2,..., но зависимых! При этом стационарная последова-тельность (ж„) непременно должна быть последовательностью с сильным последействием. (См. далее в §2с.)

Свойства (1) и (2), являющиеся своеобразной формой самоподобия (автомодельности), наблюдаются также и для многих финансовых индексов (с заменой хп на hn).

Работы Г. Харста и отмеченные наблюдения явились отправными для Б. Мандельброта, который предложил как в рассматриваемой им модели Харста, так и во многих других вероятностных моделях, в том числе и в финансовой математике, использовать строго устойчивые процессы (§ 1с) и фрактальное броуновское движение (§ 2с), обладающие свойствами автомодельности.

Следует подчеркнуть, что свойствами самоподобия типа (1) и (2) обладают самые разнообразные системы с нелинейной динамикой, которые встречаются в природе (физические, геофизические, биологические, экономические, ...). И именно это свойство "самоподобия" играет централь-ную роль во фрактальной геометрии, а ее основатель Б. Мандельброт назвал свою книгу 11 The Fractal Geometry of Nature", [320], подчеркивая тем самым универсальность понятия автомодельности в Природе.

Нужные нам для дальнейшего определения статистической автомодельности и фрактального броуновского движения будут даны в § 2с. Следующий же параграф, не связанный непосредственно с финансовой математикой и навеянный материалами работ [104], [379], [385], [386], [428], [456],..., призвал дать общее представление о концепции автомодельности, играющей, как уже отмечалось, центральную роль во фрактальной геометрии.