§ 3b. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. I.Условно-гауссовский случай

(Sl,3,(3n)n>1,P),

целесообразно начать с дискретного (во времени) варианта теоремы, установленной И.

Пусть временной параметр п > 1 и є = (єі, є2, ¦ ¦ •) - последовательность -измеримых случайных величин с распределением

Law(en|^„_i;P) = ^(0,l). (1)

В частности, это означает, что последовательность є состоит из независимых, стандартных нормально распределенных величин, є„ ~ *Ж(0,1).

Пусть наряду с последовательностью є = (єп)п>і заданы предсказуемые последовательности /І = (/IN)N^I и <т = (<тп)п^і> т-е- такие, что /Іп и оп являются -измеримыми (30 = {0, Г2}), причем будем считать <7П > 0, что оправдывается смыслом этого параметра как "волатильности" и тем, что наблюдения с оп = 0 можно просто исключить из рассмотрения.

Положим h = (hn)n^і, тле

hn = Цп + <т„є„. (2)

Из (1) следует, что (регулярное) условное распределение Р(hn < ¦ | определяется формулой

і гх _ (у-чп)2

P{hn$x\\&n_1) = -== е ** dy, (3)

У/2жа\\ J-oo

или, в символической форме,

¦ Law(An|^„_i;P)=^Oin,^), (4)

что дает основание назвать последовательность h = (hn) условно-гауссов ской (по мере Р), имеющей (условные) среднее и дисперсию

.(5)

D(fc„| = (6)

Из (4) или (5) и (6) нахсшим, что

Е(А„-/і„|^„_І)=0, (5\')

D(hn-»n\\&n-1) = a2n. (6\')

Если обозначить

п п п

= XI/lfe\' Ап = /ifc\' Мп = 12 k=1 fc=l fe=l

то можно сказать, что в условно-гауссовском случае величины Нп пред-ставлены в виде

Нп = Ап+ М„,

где А — (Ап) - предсказуемая последовательность иМ = (Мп)~ условно- гауссовский локальный мартингал с квадратической характерис-тикой

fc=l

п

Обозначим Wn = ^ ?fc, А = 1.

ной форме

ДЯП = /І„А + onAWn,

что естественно рассматривать как дискретный аналог стохастического дифференциала (см., например, [303; гл. 4] и § 3d, гл. III)

dHt — Pt dt + at dWt

некоторого "процесса Ито" Н = (Ht), порожденного винеровским процессом W = (Wt)t^O) с локальным сносом (pt)t^o и локальной волатильностью ((Tt)t^o-

Применительно к рассматриваемому случаю условно-гауссовской по-следовательности (2) дискретный аналог "теоремы Гирсанова" (полученной, как уже отмечгілось, И. В. Гирсановымв случай непрерывного времени) связан с вопросом о том, можно ли найти такую меру Р, абсолютно непрерывную или эквивалентную мере Р, относительно которой последовательность h = (hn) становится (локальной) мартин- гал-разностью. В этой связи полезно подчеркнуть, что правая часть в (2) содержит два члена: "снос" рп и "дискретную диффузию" ст„єп, являющуюся (по мере Р) мартингал-разностью. Сформулированный вопрос со-стоит, в сущности, в том, нельзя ли найти такую меру Р С Р, относительно которой (hn) не имеет "сносовой" компоненты, а является лишь "дискретной диффузией", т.е. (hn) есть (локальная) мартингал-разность.

2. При конструировании меры Р ключевую роль играет последовательность (положительных) случайных величин

1?(?)\'}. в>1- (7)

fc=i * k=і * j

Лемма. 1) Последовательность Z = (Zn)n^i является (Р, (&п))- мартингалом с ЕZn — 1, п ^ 1.

2) Пусть 3 = V 9п и выполнено "условие Новикова"

Тогда Z = (Zn)n^i - равномерно интегрируемый мартингал с предельным (Р-п.н.) значением Z00 = lim Zn таким, что

и

Zn = E(Zoa\\&n). (10)

Доказательство. 1) Это утверждение очевидно, поскольку для лю-бого k > 1 (Jb = {0,Щ)

Еехр{^-і(^)2|^_Л = 1, (И)

2 VcTfe/ I J

что следует ИЗ ^fc -1 -измеримости — и условной гауссовости (1).

<Ук

2) Доказательство равномерной интегрируемости семейства (Z„) при условии (8) достаточно сложно и может быть найдено и в оригинальной работе А.

Однако, при несколько более сильном условии: для некоторого є > 0

еЦ^Ш^И (12)

доказательство равномерной интегрируемости семейства (Zn сравнительно элементарно. Поэтому представляется целесообразным привести это доказательство, что мы и делаем в конце параграфа (см. п. 5).

3. Зафиксируем некоторое N ^ 1 и будем рассматривать последова-тельность (hn) только для п < N. Для простоты обозначений будем считать З- = Jjv, так что Pjv = РI — Р-

Поскольку Zfj > 0 и EZjv = 1, то на (SI, .3) можно ввести вероятностную меру Р = P(du>)) полагая

Р(«М = Zjv(w)P(dw). (13)

Подчеркнем, что здесь не только Р <С Р, но и Р -С Р. Поэтому Р ~ Р.

Рассмотрим свойства последовательности (/г„)„^лг относительно меры Р.

По "формуле Байеса" (4) из § За для всякого А Є 1 и n < JV имеем (Р-п.н.)

= (14)

где использовано то, что

и<т? - _1 -измеримы. Полученное равенство

E(eiAfc"|^n-i) (Р-п.н.) (15)

говорит о том, что относительно новой меры Р последовательность h = (hn) осталась условно-гауссовской, но уже с нулевым "сносовым" членом:

Law(An|^n_i;P)=^(0,^), (16)

и, таким образом, аналогом соотношений (5) и (6) здесь являются следующие:

Е(Л„ | &п-г) = 0) (17)

б(Л„|^„-і) = а®. (18)

С наглядной точки зрения можно сказать, что переход от меры Р к мере Р аннулирует ("убивает") снос р. = (pn)n^.N У последовательности h = (hn)n^.N, оставляя той же самой условную дисперсию.

Из (16) можно заключить также, что если є = (en)n^N ~ последовательность -измеримых величин с распределением

Law(єп |^„-i;P) = JT(0,1) (19)

(такую последовательность всегда можно построить, быть может, правда, за счет расширения исходного вероятностного пространства), то

Law (hn, n^N |Р) = Law (стпє„, п <7V| Р). (20)

Отсюда видно, что по новой мере Р последовательность (/in)n< N ведет себя как локальная мартингал-разность (<т„єп)п^іу, в то время как относительно исходной меры Р аналогичное (20) свойство имеет такой вид-

Law(/i„ -/і„, п < N\\ Р) = Law(апєп, n < TV |P). (21)

Изменим сейчас порядок рассмотрений.

Будем исходными считать меру Р и последовательность h — (hn), для которых имеет место свойство (20).

Перед тем как резюмировать полученные результаты, заметим следующее.

Пусть а п (uj ) не зависят от ш (= ст2). Тогда из (14) индуктивным образом находим, что для Ль Є К с к Є {1,..., N}

Е(е* =Е(еі^=і1Л*Л*Е(еІЛлг\'1" I Jiv-i))

= e 2 E(e =... = e 2^Ь1ЛЛ,

Тем самым, относительно меры Р последовательность (hn)nИтак, сведем полученные результаты в виде следующей теоремы, которую естественно назвать дискретным аналогом теоремы Гирсанова.

Теорема. Пусть h = (h„)n^.N - условно-гауссовская последова-тельность такая, что

Law(h„

Пусть = 3- и мера Р определена формулой (13) с плотностью Z^, задаваемой формулой (7).

Тогда:

1) относительно меры, Р последовательность h — (/in)„^jv является условно-гауссовской:

Law(/in \\P) = J/(0, 3) если = и выполнено условие (8), то свойства 1) и 2)

остаются справедливыми для всех п > 1 с мерой Р такой, что P(dw) = Zoo(uj) P(dw), где Zoo(w) определено в (9).

4. Заметим, что в конструкции меры по формулам (13) и (7) непосред-ственно участвовали последовательности (/лп) и (стп), входящие в определение /г„ (— р.п + о„є„). В этой связи, а также с целью установления связи с процедурой специального выбора значений ап (и>) при рассмотрении преобразований Эшера (см.

где 6fc = 6jt(w) - Зк-г-измеримы.

Поскольку EZj^(w) = 1, то на — 3 определена вероятностная мера

(23)

P w{duj) = (du).

Относительно этой меры условное математическое ожидание

Отсюда ясно, что выбор в "теореме Гирсанова" специальных значений

Ьп = — —, n < JV, диктуется тем, что именно при таком выборе ап

последовательность h = (/in)nДалее, если Хп = /І„ + єп, то функция

?>„(a;w) = E(EAX« = е*"3—

Отсюда видим, что

inf<^„(a;w) = <^n(a„(w);w),

если о„(а;) = цп, п N.

Именно эти "экстремальные" значения а „ (о>) и были использованы в § 2d при построении меры с помощью "преобразования Эшера" относительно которой последовательность (Хп) становится мартингал-разностью.

Тем самым, в рассматриваемом случае (сгп = 1) и "преобразование Гир-санова" и "преобразование Эшера" приводят к одной и той же мере Р.

5. Приведем доказательство того, что при условии (12) семейство Z = {Zn)n^\\ с Zn, определенными в (7), является равномерно интегрируемым.

Мп

Пусть /Зп = . Тогда условие (12) примет следующий вид: сущест-

вует 8 > 0 такое, что

EexpjQ<ос. (25)

В соответствии с (7)

Ґ " 1 " 1 Zn = ехр^ ]Г /Зкєк - - V 01 \\, п > 1. (26)

Ч=і ? к=і і

Пусть є > 0 и р > 1. Положим

\\2 п

Для требуемой равномерной интегрируемости семейства (Zn)n-^і достаточно показать (см., например, [439; гл. II, §6, лемма 3]), что при некотором є > О

sup ЕZl+e < оо. (29)

п

Поскольку

то, в силу неравенства Гёльдера (1 /р + 1 /q = 1),

EZ?* = < ^Т\'\'^)"]1\'" = (30)

где мы воспользовались тем, что (см. (11))

= І-

Положим р = 1 + 5, q = (1 + S)/5, где 5 > 0 таково, что выполнено условие (25). Выберем є > 0 таким, что

82

(31)

е(1 + є) <

(1 + J)(1 + 2J) "

Тогда

М1 , ед(1+є)(1+д) + 1\\ ^ о2\\ (*<>) <ехр|^- +

< ехр{ Q + *) Е Л} < ехр{ Q + *) ? ft

и, значит, в силу условия (25),

< оо,

supEZ^ ^ [supE(^)9]1/9 ^ [EexP(i f; Pi

что и доказывает требуемую равномерную интегрируемость семейства (Zn).