§ За. Основные определения. Процесс плотности

Говорят, что мера Р, определенная на (П, 3), является абсолютно непрерывной относительно меры Р (обозначение: Р -С Р), если для всякого А Є 3 такого, что Р(А) = 0, также и Р(А) = 0:

Р(Л) = 0 => Р(А) = 0.

Меры Ри Р, заданные на одном и том же измеримом пространстве (Г2, 3J, называются эквивалентными (обозначение: Р ~ Р), если Р ^С Р и Р -С Р.

Во многих случаях требование абсолютной непрерывности или эквива-лентности мер оказывается слишком сильным, а зачастую и просто лишним, поскольку, на самом деле, хватает и более слабого понятия локальной.

Пусть Р„ = Р | есть сужение вероятностной меры Р на ег-алгебру С . Иначе говоря, Рп - это мера, определенная на (Г2, и такая, что для всякого А Є

Рп(А) = Р (А).

Говорят, что мера Р локально абсолютно непрерывна относительно

~ ІОС

меры Р (обозначение: Р < Р), если для каждого п ^ 1

Р„ < Р

Меры Р и Р называются локально эквивалентными (обозначение:

~ 1ос ~ ІОС 1ое ~

р ~ Р), если Р « Р И Р « Р.

Если, скажем, П = М°°, т. е. имеется координатное пространство после-довательностей ш = (жі, Х2, - • •), 3"п = сг(ш: х\\,... ,Хп) - cr-алгебра, порожденная первыми п координатами, 3 — 38 (К°°), и Р, Р - вероятностные

меры на (П, 3), то локальная абсолютная непрерывность Р < Р есть не что иное, как абсолютная непрерывность конечномерных распределений вероятностей. \'

Заметим, что если a priori предполагается, что п ^ N < оо, то понятия локальной абсолютной непрерывности и (просто) абсолютной непрерывности совпадают. Так что введение понятия "локальности" представляет интерес для тех моделей, где временной параметр может принимать бесконечные значения, п Є N = {1,2,... }.

Наряду с сужениями Р„ = Р | меры Р на ег-алгебру приходится рассматривать и сужения Рг = Р\\3Т меры Р на ег-алгебру состоящую из тех множеств А Є для которых при каждом п ^ 1 {т(и>) ті} П А Є Подчеркнем, что, как обычно, Зоо = SF

(и Зоо- = V ^п); см.

~ 1ое ~

2. Пусть Р < Р. Тогда Р„ Рп Для каждого л Є Ми, как известно (см., например, [439]), существуют производные Радона-Никодима, обозначаемые _ _

dPn dPn

dP~ ИЛИ

и определяемые как такие ^„-измеримые функции Zn = Zn (ш), что

рп(-4) = / Zn( ш) гп (dm), Л Є (1)

J А

dPn

Замечание. Производная Радона-Никодима " определяется, и

иг п

единственным образом, лишь с точностью до Рп-неразличимости, т. е. если для Zn(u;) вьшолнено (1) и точно также для Z\'n(ш) выполнено (1) (с заменой Zn(u) на Z\'n(u})), то Р(Zn(u) ф Z\'n(u)) - 0.

В этом смысле Zn(и>) и Z\'n(u)) являются "версиями" производной Радона-Никодима. И когда мы говорим, что "Zn - производная Радона-

Никодима" и пишем Zn = ", то это подразумевает, что выбрана

игп

какая-то версия, с которой мы и оперируем. При этом выбираемую версию всегда можно, как нетрудно видеть, выбрать не только такой, что P(Zn(u;) > О) = 1, но и такой, что Zn(ш) > 0 для всех ш є SI и каждого п ^ 1. Именно поэтому требование неотрицательности обычно просто включают в определение производной Радона-Никодима вероятностных мер.

В дальнейшем процесс с дискретным временем

Z ~ (Z„)„^i

называем "процессом плотности\'" (мер Рп относительно Pn, п ^ 1, или

— — 1ос

меры Р относительно Р такой, что Р < Р).

В следующей теореме для удобства ссылок собраны, хотя и простые, но необходимые и важные свойства процесса плотности.

~ ІОС

Теорема. Пусть Р « Р.

Процесс плотности Z = (Zn) является неотрицательным (Р,(Зп))-мартингалом с ЕZn — 1.

Пусть - ^oo-i где = \\J Тогда следующие условия являются эквивалентными:

Р « Р;

процесс Z = (Zn) является равномерно интегрируемым (Р, (&п))-мартингалом;

(iii) P^supZn < ос) = 1.

Пусть т — inf{n: Zn = 0} - момент первого обращения процесса плотности в ноль. Тогда и для всех последующих моментов этот процесс "остается в нуле" в том смысле, что

Р{ш: Зп > т(ш) с Zn(u) ф 0} = 0.

Пусть т - момент остановки.

Имеет место равенство

p(infZn>0) =1. (3)

1ос —

f) Если Р(Zn > 0) = 1 при каждом п ^ 1, то Р <С Р «

Р ~с Р.

Доказательство. а) Из (1) для А Є

Рп(А) = Е(IAZn) = РП+1(Л) - Е(IAZn+1)

и, значит, ЕІА%П = і- Поэтому E(Zn+x \\&п) = Zn (Р-п.н.) для

каждого п > 1. Ясно также, что EZn = Pn(?2) = 1. Тем самым, Z является (Р, (^п ))-мартингалом.

Ь) (і) => (ii). Напомним следующий классический результат теории мартингалов ([109], см. также п. 4, §ЗЬ, гл. III, для случая непрерывного времени):

Теорема Дуба о сходимости. Пусть X = (Хп) - супермартингал относительно меры Р и потока (Зп) такой, что существует интегрируемая случайная величина Y такая, что Хп ^ Е(У | (Р-п.н.) для всех п ^ 1.

Тогда Хп сходится (Р-п.н.) к конечному пределу, скажем, Х^: lim Хп = Хоо (Р-п.н.).

п

(Доказательство см. в [109] и во многих учебных пособиях, например, [439; §4, гл. VII].)

Для доказательства импликации (і) => (ііі) достаточно заметить, что поскольку Zn ^ 0, то в силу сформулированной теоремы Дуба с Р-вероятностью единица существует конечный предел lim Zn. Но Р < Р,

п

поэтому этот предел существует и конечен также и по мере Р, а значит, P(supZ„ < оо) = 1.

^ п \'

(ііі) =>¦ (ІІ). Равномерная интегрируемость семейства случайных величин (?„) означает, что

limsupE(|?„|/(|?n|>iV)) =о.

iV 71

В рассматриваемом случае (?„ = Zn) из (ііі) имеем

E(ZnI(Zn > N)) = P(Zn > N) < P(supZn > jv) -»¦ 0, N oo,

что и доказывает (ii).

(іі) => (і). Из теоремы Дуба, Zn —)¦ Z^ (Р-п.н.). Равномерная интег- рируемость семейства (Zn) обеспечивает тогда и сходимость в L1 (О, , Р), т. е. EjZn — Zool —0, п —оо. Для множеств А Є 3-т ип^т

Р(А) - ЕIAZm = ЕIAZn.

HoE|Z„ - ZooI —> оо. Поэтому для каждого А Є 3*гп

Р(Л) = Е/А^ОО.

Применяя обычную технику "монотонных классов" ([439; § 2, гл.

Таким образом, Р С Ри, более того,

dP ~

где Zoo = lim Zn.

с) Для доказательства этого свойства нам нужен другой классический результат теории мартингалов ([109], см. снова п. 4, § ЗЬ, гл. III, для случая непрерывного времени):

Теорема Дуба об остановке. Пусть супер мартингал X = (Хп) таков, что существует интегрируемая случайная величина Y со свойством

Xn>E(Y\\&n), 1.

Тогда для любых двух марковских моментов а и т случайные величины Ха и Хт являются интегрируемыми, и на множестве {а ^ г}

Е(ХТ | ^о-) < Ха (Р-п-н.).

(Доказательство см. в [109], [439; §2, гл. VII].)

Замечание. На множестве {и>: т(оо) = оо} значение Хт (ш) полагается равным л оо (ш), где Хсо (и>) есть предел 1ітХп(ш), существующий по теореме Дуба о сходимости.

Наряду с моментом т = inf{n > 1: Zn = 0} введем моменты am ~ inf{n Js 1: Zn > 1/m}. Нетрудно убедиться, что т и от являются моментами остановки, т. е. множества {т < п} и {сгт ^ п} принадлежат для каждого п > 1 и всех т > 1. (Напомним, что, как всегда, т(о>) = оо, если Zn(u>) > 0 при всех п ^ 1.) Из теоремы Дуба об остановке

Е(ZCTm | < ZT = 0 на множестве {ш: т(ш) < оо}.

Значит, ZCTmI(T < оо) = 0, т > 1, и, следовательно, ат = оо (Р-п.н.), т ^ 1, что и означает выполнение требуемого свойства

Р{ш: Зп ^ т(ш) с Zn(u) ф 0} =0.

Пусть А Є &г- Тогда

Е[7А ¦ 1{т<оо} ¦ ZT] = " \' = XI Е1/А \' Ат=П} " ^П]

= Р(^П1(т = п)) = Р(АП{т < оо}),

что и доказывает требуемое утверждение.

Обозначим

тт = infjn: Zn< —1. І ті

Тогда, в силу d),

P(rm < оо) = E{ZTmI{Tm < оо)) < І

и, значит,

Р(ГКт- < =0\'

^ m \'

что равносильно требуемому утверждению P^infZ„ > 0 j =1.

— loc —

ЕслиР РиР(2п > 0) = 1 ,n > 1, то nP(Zn > 0) = 1.

Положим для А Є 3-п

0„(Л) = [ Z~x P(du). J А

IА

Тогда, поскольку P„(da;) = Zn Рn(duj), то

Qn(A) = f P{dm) = Pn(A), n>l.

j a

Тем самым,

Pn(A) = f Z^Pn(duS) J A

loc ~

и, значит, P«r.

Итак, все утверждения a)-f) теоремы доказ алы.

3.

Лемма. Пусть Pn Pn « Y - ограниченная (или Р-интегрируе- мая) измеримая случайная величина. Тогда для всякого т < п

Е(Y | 9т) = ~E(YZ„ | &т) (Р-п.н.). (4)

Доказательство. Прежде всего отметим, что в выражении, стоящем в правой части (4), P(Zm > 0) = 1 (см. утверждение е) в вышеприведенной теореме). Далее, на множестве {со: Zm (и>) = 0} также и Zn(u>) = 0, п > т (Р-п.н.). Учитьтая это, будем на этом множестве правую часть в (4) считать равной нулю.

По определению, Е(У | &т) является -измеримой случайной величи-ной такой, что для любого А Є

E[lA-E(Y\\&Tn)]=E[IA-Y], (5)

— Е[1А • Y). (6)

ІА ¦ ^-Е(YZn | &т)

6т

так что надо лишь убедиться в том, что для -измеримой функции, стоящей в правой части (4),

То, что это действительно выполнено, вытекает из следующей пепочки равенств:

іа • J-E(YZn | 9т)

1

ІА ¦ Т^Е(YZn I 9Т) ¦ Zn

= Е

- E[1А- E(YZn I Зт)}

(=>E[lAYZn] [lAYZm] =E[IAY],

где равенство (а;) следует из определения условного математического ожидания E(YZn | 9Т), а СВ) справедливо в силу ^„-измеримости IAY и мар-тингальности последовательности Z - (Zn).