Якобиан преобразования плотности распределения в функции правдоподобия
Рассмотрим модель по отношению к которой регрессия является частным случаем:
є=f(FA).
Здесь Y — зависимая переменная, є — ошибка, причем Y и є — вектора- столбцы одинаковой размерности.
"Независимые переменные" (регрессоры)X неявно содержатся в функции f (.). O1 — неизвестные параметры. Обозначаем их O1, а не O, потому что распределение ошибок єсамо может зависеть от вектора неизвестных параметров (O2), так что
01
O
В частном случае линейной регрессии
f(YOx) = Y- Xfi, O1 = в, O2 = а2.
Как правило, при построении эконометрической модели делают предположение о распределении ошибки, а уже из распределения ошибки выводят распределение зависимой переменной. Таким образом, задача состоит в том, чтобы из плотности распределения Є получить плотность распределения Y (если мы имеем дело с непрерывным распределением).
Плотности распределения связаны между собой соотношением: PY(Y,0) = рє(f (Y,O1),O2) abs |J(O1)|, где J(O1) — матрица Якоби (якобиан), соответствующий преобразованию Y в Є:
JO)=f = } J(O = дY = Wr
— матрица первых производных f по Y. В выражении для плотности здесь стоит модуль определителя якобиана.
Функция правдоподобия — это по определению плотность распределения Y. Таким образом, логарифмическая функция правдоподобия равна і = ln рє( f(Y,O1),O2) + ln abs |J(O1)|.
Будем второе слагаемое здесь называть якобианным членом. Якобиан- ный член уже присутствовал в логарифмических функциях правдоподобия, которые мы рассматривали выше (см. напр. регрессии с автокоррелированными ошибками). В модели с AR(1)-ошибкой Є, = рєі—1 + g, где Є, = Y, - X,р. Выразим g через Y:
f(YO1) = gг = (Yj - X , в) - Р(Y,-1 - Xj-1 в), і =1,...,N. ЯВД) = л/1 - Р1 (Y1 - XP.
(P
Здесь O1 = . f1(Y,d1) определена таким образом, чтобы все элементы f имели одинаковую дисперсию. Для этой модели
V
2
1-р -р 1
O
ад)=dY ¦¦
abs
IJ(^1)I=V1v.
L о -р1 J