Преобразование зависимой переменной. Модель Бокса-Кокса

f, (Y ъв!) = hi(Yi,8 - Х(8)в Модель является квазирегрессионной. Здесь Х(8) — матрица "регрессоров", в— вектор регрессионных коэффициентов.

только от параметров 8 и является диагональной матрицей.

Такая модель возникает из регрессии, если применить к зависимой переменной преобразование, зависящее от оцениваемых параметров.

Пусть ошибки нормально распределены ^~N(0,a ) и некоррелированы.

1

pE(z) = (2na2)- /2 exp(- z\'z).

Логарифмическая функция правдоподобия для такой модели: l = ln pE( f(Y,e1),e2) + ln abs |J(e1)| =

N 2 1 T df

- у ln(2na ) - f f + ln abs | ^ I =

1

N

dh,

= - 2 ln(2na ) - 2^2 y,(h,(Y,,8 - Х(8)Р)2 + y,ln abs ( ^).

Самое популярное преобразование зависимой переменной — это преобразование Бокса-Кокса:

Y8 - 1 h(Yu8) = .

В общем случае его можно применять при положительных Y,-.

Yf- 1

Если 8 ^ 0, то —f—^ lnY,-, поэтому берут h(Y,0) = lnY.

Таким образом, имеем следующую простейшую модель Бокса-Кокса3

Y8- 1 — = ХІР+ЄІ.

Здесь регрессоры X детерминированы и не зависят от неизвестных параметров.

Якобиан равен

Yf-1 O

о

Y

8-1

N

Функция правдоподобия для модели Бокса-Кокса равна

l = -

N 2 1 Yf- 1 2 2 ln(2na ) - Z,(- Xt Р)2 - (1 - 8) Z, lnY,.

2

Концентрируя функцию правдоподобия по a , получим

, с N (_ RSS N (1 8) Z , Y l = - 2 ln(2n - 2 - (1- 8) Z, lnY,-.

Обозначим Y среднее геометрическое Y,-:

/N

Y=(ВД

N

Тогда l с = - 2 ln(RSS) - N (1 - 8) ln Y + const.

Максимизация l с эквивалентна минимизации следующей суммы квадра-

тов:

Y8- 1

Z,(f 1-f(-f - Х-Р))2.

Можно предложить два метода оценивания.

Первый метод заключается в одномерной минимизации по 8, поскольку

¦¦ 18 8

при фиксированном 8 задача сводится к ОМНК. Строим регрессию Y 1- 8 (Y8 - 1)/8 по Y 1- 8Х..

Второй метод заключается в использовании нелинейного МНК, в котором зависимой переменной является вектор, состоящий из нулей, а в правой

части стоит Y 1- 8((Y,8- 1)/8 - X Р).

В обоих случаях мы найдем МП-оценки, но не найдем состоятельную оценку матрицы ковариаций оценок (ковариационные матрицы из этих вспомогательных регрессий не годятся).