§ 2Ь. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. I. Отклонение от гауссовости. "Вытянутость" эмпирических плотностей

S = (St)t^o

с St = у Sf ¦ Щ. Обозначим S — (St)t^o непрерывную модификацию S = (St)t^o, полученную посредством линейной интерполяции.

Пусть, далее, 5Л = (Stk)k^o~ А-дискретизация S = (St)t^ocifc = kA.

Как уже не раз отмечалось выше (см., например, п.

A Stk Stk

относительное изменение —— = 1. В этой связи оправдан

Stk_! St

обычный интерес к распределениям не величин (Stk), а величин (Htk), где Будем обозначать

hif = AHtk (^Ht.-Ht^), (1)

где tk = kA, k ^ О, Я0 = 0. С учетом способа получения

чении

SA из 5, а также введенных в § 2а обозна- — AHt, Ht = In находим, что

= ? (2) {i: tfc-lгде слагаемое г^^ определяется "концевыми эффектами" и может быть названо "остаточным" членом по причине его малости по сравнению с величиной выражения, определяемого суммой.

В самом деле, если, например, А = 1 час, то, согласно данным табл. из п. 4 § lb, среднее число тиков для DEM/USD будет равно примерно 187 (= 4500 : 24). Таким образом, величина суммы в (2) определяется 187 зна-чениями hTi. В то же время модуль | r^ | заведомо меньше или равен сумме модулей четырех значений h., отвечающих тем моментам тиков, которые непосредственно предшествуют моментам tk~ і, tk и следуют за ними.

Важно подчеркнуть, что сумма, стоящая в (2), есть сумма случайного числа случайных величин, распределение которой может быть достаточно сложным, даже когда отдельные составляющие и случайное число членов имеют сравнительно простые распределения. Это обстоятельство может рассматриваться как некоторое формальное объяснение того, что, как будет показано далее, распределение величин h^ не может считаться гауссовским.

Замечание. Обозначение довольно-таки громоздко, хотя и "говорит" о способе образования этих величин. В дальнейшем для упрощения записи эти величины будут обозначаться также hk (с указанием способа их формирования и выбранного значения А).

2. Итак, будем считать заданным А > 0. При исследовании вопроса о совместных распределениях Law(/ij, h2, ¦ ¦ ¦) последовательности значений hi, h2, ¦ ¦ ¦ естественно прежде всего заняться их одномерными распределениями, считая, что эти величины одинаково распределены и плотности их распределений являются одновершинными. (В первом приближении эта гипотеза однородности хорошо подтверждается статистическим анализом для многих финансовых индексов, по крайней мере на не очень боль-ших временных интервалах. См. также далее § Зс в связи с иным способом формирования значений hi с учетом "географического" эффекта суточной цикличности.)

Как уже выше отмечалось, по данным "Olsen & Associates" в период 01.01.1987-31.12.1993 было зарегистрировано 8238532 тика в обменном курсе DEM/USD. О значениях характеристик одномерного распределения величин hi = оцениваемых по этим статистическим данным, можно судить по следующей таблице из [204]:\r\nд N Среднее hN Дисперсия т2 СКОШЕННОСТЬ
SN Вытянутость KN\r\n10 мин. 368000 -2.73 • 10~7 2.62-10-7 0.17 35.11\r\n1 час 61200 -1.63 • Ю-6 1.45-10-6 0.26 23.55\r\n6 час. 10200 -9.84 • Ю-6 9.20-10-6 0.24 9.44\r\n24 час. 2100 -4.00 • 10~5 3.81-10-5 0.08 3.33\r\n

m3

В этой таблице N - число выборочных точек (вида tt = гА), hs-^K, ™k = -TZ - hN) , SN =

г=1 г=1 TO2

эмпирический коэффициент скошенности (асимметрии, skewness) и

эмпирический коэффициент вытянутости (эксцесса, kurtosis).

Для нормального распределения теоретический коэффициент скошенности SN равен нулю.

Из таблицы видно также, что среднее значение (по модулю) значитель-но меньше стандартного отклонения (квадратного корня из дисперсии) и поэтому практически может считаться равным нулю.

Наиболее весомым аргументом в пользу отклонения гипотезы "нор-мальности" является, конечно, слишком большое значение коэффициента вытянутости (эксцесса), растущего, как видим, с уменьшением А. Поскольку коэффициент вытянутости определяется через четвертый момент, то это обстоятельство наводит также на мысль, что распределение величин hk = имеет "тяжелые" хвосты, что проще всего понимать так, что соответствующая плотность распределенияр(Л)(а;) сравнительно (с нормальной плотностью) медленно убывает при |т| —> оо.

3. Отклонение от нормальности (гауссовости) величин hk, наблюдаемое не только для обменных курсов валют, но также и для других финансовых показателей (цен акций, например), подтверждается не только видом эмпирических плотностей (гистограмм), но и стандартными статистическими приемами обнаружения отклонений от нормальности, такими как, например,

квантильный метод,

х2-тесті

ранговые критерии.

Напомним суть этих приемов.

Квантильный метод проще всего иллюстрируется QQ-графиком (см. рис. 33), на котором по горизонтальной оси откладываются квантили соответствующего нормального распределения J/(p,o2) с параметрами /і и и2, оцениваемыми по статистическим данным, а по вертикальной оси - квантили эмпирического распределения величин hk. (Квантиль Qp порядка р, 0 < р < 1, распределения случайной величины ? есть, по определению, то значение z, для которого Р(? Sj х) ^ р иР(? ^ х) ^ 1—р.)

В случае "хорошего" согласия эмпирического распределения с теоретическим множество точек (Qp,Qp) должно быть сконцентрировано около диагональной прямой. Однако статистические данные (по курсам валют, ценам многих акций, ...) показывают, что это не так, и график (Qp, Qp), изображенный на рис.

Qp

5.0- 3.0 1.0- -1.0- -3.0

-5.0 і • • \' п

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 Чр

Рис. 33. QQ-квалтильный анализ обменного курса DEM/USD с интервалом Д = 20 мин. (по данным агенства Рейтер, 5.10.92-26.9.93; [427]). По вертикальной оси отложены квантили Qp эмпирического распределения величин hk = ^t^ > tк — кА, к = 1,2,...; по горизонтальной оси - квантили Qp нормального распределения

Рис. 34. Типичный график эмпирической плотности (величин hk = hf^, к ~ 1,2,...) и соответствующей теоретической (нормальной) плотности

4. Применение х -теста К. Пирсона как критерия согласия основано на построении статистики

_ V* ~ ПР«)2 X / . і

іґі прі

k

где Vi есть число наблюдений, попавших в интервалы іі, Y] Ij = Ш, игра-

»=i

юпше роль интервалов "группирования" данных [v-y Н = п), ир* -

вероятности попадания в эти множества, соответствующие проверяемому теоретическому распределению.

В соответствии с критерием согласия К. Пирсона гипотеза

Жо\'. эмпирические данные согласуются с теоретической моделью отвергается с уровнем значимости а, если выполнено неравенство х2 > Хк- 1,1-а\' где Хк- 1,1-а есть Qi-a-квантиль (т.е. квантиль порядка 1-а) распределения с fc — 1 степенями свободы.

Напомним, что ^-распределение с т степенями свободы - это распределение случайной величины

Хт = "I + ?т>

где - независимые стандартные нормально распределенные,

<у^(0,1), случайные величины. Плотность fm(x) такого распределения задается формулой

f Г— д.т/2-1е-х/2 > о

fm(x) = { 2т/2Г(т/2) \' (3)

[О, х < 0.

В работе [127] приведены результаты статистической обработки с целью проверки гипотезы Жо с уровнем значимости a = 1% для акций десяти крупных немецких компаний и банков (BASF, BMW, Daimler Benz, Deutsche Bank, Dresdner Bank, Hochst, Preussag, Siemens, Thyssen, VW) по трехлетним данным (2.10.1989-30.09.1992). Подсчет x2 и Хк-і,і-а (fc — 22, число наблюдений m = 745) показывает, что гипотеза Жо должна быть отвергнута для всех этих десяти компаний без исключения. Например, для BASF и Deutsche Bank для (с = 1/fc, fc = 22) получены значения 104.02 и 88.02, в то время как критическое значение Хк-11-а = 38.93 при к — 22, а = 0.01. Тем самым, х2 значительно больше Xk-i 1-а и\'согласно х2-критерию, гипотеза Жо отвергается.