12.2.3 Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых рас прост раненных н применения\' математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального псиотоуют следующие характеристики.

1 симметрия змииричґского рщпреоцхфшя онределяетея стелукпним равенствам:

В формулы (12.13) н (12.М) входят центральные эмпирические моменты, олредепяе.мые формулами (12.11), а также выборочное среднее квадратическое отклонение (12.Я). Асимметрия и зксцрсс служат для сравнения пнлш.чга нм пир н четкого распределения с нормативным

распределением: знак с, \'называет на расположение длинной части ломаной отпоен сельпо математического ожидания (справа при п, > О п слева при ^0 сравниваемая кривая белее зысокая и ос I рая. при е < 0 сны более низкая и плоская;.

Пример 6. Найти аенммефпн) н эксцес эмпирического распределения:

12.2.4. Доверительный интервал

Заметим, что псе оценки, приведенные ранее, определяются одним числом, г. е. являются точениями. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра. Более широкое применение получил метод доверительных интервалов, разработанный американским патис си ком Ю Нейманом. В дальнейшем этот метод нам понадобится.

Определение 2. Доверитечьным интервалам для параметра 6 с надежностью оценки р называется числовой промежуток (Ь* - 8,6* + 6), і; ытз

Обычно надежность оценки р задается числом, близким к единице. Иными словами, доверительный интервал покрывает неизвестныІІ параметр с заданной надежностью.

1.

Рассматриваются теоретические выборки случайных величин, с распределениями которых связан параметр 0.

2 Подбирается случайная ве личина К с известным распределением, значения которой определяются выборками и параметром 6: У= У (0).

3. По известному распределению У подбираются числа У, и У2 такне, чтобы выполнялось равенство Р (У, < У (0) < У2) -р.

4. По значениям У, к У2 определяется число й > 0 при известном значении 0*. Таким образом условие (12.15) будет выполнено и доверительный интервал построен.

Пример 7. Найти доверительные интервалы надежноеш р, =0,95 н рг = 0,94 для нормальной случайной величины Л\' с функцией распределения ЛЧО, 1) — см. формулу (11.48).

Решение. В первом случае р/2 = 0,475; из равенства Ф (д) =0,475 но табл. П.1 определяем .т = 1,96, т. е. при уровне значимости и = 0,05 Хе( 1.96; 1,96). Во втором случае из аналогичного равенства Ф (с) = 0,495 получаем .г = 2.58, т. с. при уровне значимости а = 0.01 А\' є ( 2.58:2,58)

12.2.