3.3. Рента с постоянным относительным изменением платежей

Rj = Rqh\\ І = Г~їр,

где R — величина первого платежа; q — постоянный

относи-тельный темп роста за период длительностью ^ .

Проценты на поступающие платежи начисляются раз в году.

А = RqnP^ +1>~1, (5)

і наращенная сумма

5 = /4(1 + /)" • (6)

Пример 3.3.1. Текущая задолженность равна 300 тыс. $. Решено погасить ее в течение 8 лет по схеме возрастаю-щей ренты, члены которой возрастают по геометрической прогрессии, увеличиваясь за год на 10%. Погашение основного долга начинается с конца третьего года. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка - 5,5% в год. Первые 2 года выплачиваются только проценты в конце каждого года. Определите сумму нсех выплат В по погашению долга и общую сумму процентных платежей /.

Поскольку первые два года погашались только про-центные платежи, то к началу третьего года основной долг остался прежним. Погашение основного долга производилось платежами, возрастающими в геометрической прогрессии со шаменателем q = 1,1, т.е. R = R / = 1,2,..., 6, где R - иеличина первого платежа. В силу формулы (5), имеем: 300 =

11ь • 1,055_ь - 1

R j j 1 j 055—= Р \' 6,32927185. Следовательно, R = = 47,39882 тыс. $. Сумма В всех выплат по погашению дол-

д - о п П« Л. 47,39882-47,39882-Ц6 га равна: В = 2 • 300 • 0,055 + =

*= 398,71081 тыс. $. Сумма всех процентных платежей I = - 398,71081 - 300 = 98,71081 тыс. $. ¦

Пример 3.3.2. Решено в течение 3 лет создать фонд в размере 100 тыс. $ по схеме возрастающих в геометрической прогрессии взносов, поступающих в начале каждого года. Первый взнос составляет 20 тыс. $. Насколько процентов должны возрастать последующие платежи, чтобы фонд был создан, если на поступающие платежи начисляется 10,2% годовых?

Пусть q - знаменатель геометрической прогрессии. Наращивая все платежи на конец третьего года и суммируя их, получим: 20 ¦ 1,1023 + 20 • q - 1.1022 + 20 • q2 ¦ 1,102 = = 100. Относительно q - это квадратное уравнение. Решая его, получим: q =1,353311446. Следовательно, платежи должны возрастать на 35,33% за год. ¦