3.2. Рента с постоянным абсолютным приростом платежей

AJ\\RP+ (3)

L (1 + i)/p -1 (1 + if" -1

где і - годовая ставка процентов, по которой на платежи начисляются проценты, а п - срок ренты. Наращенная сумма данной ренты

S = А{\\ + г)" • (4)

При р = 1 формулы (3), (4) обращаются в известные результаты, приведенные в монографии [23].

Формулы (3), (4) получены для рент постнумерандо. Для рент пренумерандо можно использовать формулы (3), (4), если предварительно все платежи, выплачиваемые в начале периодов, вывести на конец соответствующих периодов путем их наращения по ставке процентов і.

Часто при анализе переменных рент может возникнуть задача определения первого члена ренты R или его прироста а при условии, что все остальные параметры ренты заданы.

Пример 3.2.1. Долг в сумме 180 тыс. $ должен быть погашен за 6 лет по схеме возрастающей ренты, члены которой изменяются по арифметической прогрессии, причем первая выплата равна 50 тыс. $. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся в конце года, ставка - 7,2% в год. Определите сумму всех процентных платежей.

> По условию, годовые выплаты изменяются линейно, т.е. R(t) = 50 + а ¦ t, где а - абсолютный прирост платежей за год. Неизвестный прирост а платежей за год найдем из уравнения (3): 180 = ^50 + Q^f^^ ~ 6 "0072 2 \' Учиты" вая, что а6;72 = 4,737251764, получаем: а = -5,22378 тыс. $.

Итак, R(t) = 50 - 5,22378 ¦ t, t = 1,2 6. Сумма всех

платежей /?(1) + ... + R{6) = 221,6433 тыс. $. Если из этой суммы вычесть первоначальную сумму долга, то получим сумму всех выплаченных процентов: 221,6433 - 180 = = 41,6433 тыс. $. ¦

Пример 3.2.2. Решено в течение 10 лет создать фонд в сумме 1 млн. $. На денежные средства, поступающие в фонд в конце каждого года, начисляется 8,75% годовых. Первый взнос в фонд составляет 80 тыс. $. По схеме возрастаю щей или убывающей арифметической прогрессии платежей можно создать фонд? Определите сумму взносов в фонд.

> Воспользуемся формулами (3), (4), полагая в них р = т = 1, R = 80, п = 10, 5 = 1000, і = 0,0875: 1000 =

= (8° + 00875)^0,0875~ ^ - О0875 \' ЭТ° УРавнение линейное относительно неизвестного параметра а. Решая его, получа ем: а = -3,50896 тыс. $. Так как прирост платежей за год отрицательный, то фонд можно создать только по схеме убывающей арифметической прогрессии платежей. Сумма взносов в фонд (80 + (80 - 9 • 3,50896)) : 2 = 64,20968 тыс. ¦