§ 2а. Дискретизация статистических данных
изменений в ценах, т.е.
статистике последовательности (STk — STlc_1)k^i5 ^
или связанных с нею других величин, скажем, hTk = In Тк .
Сразу следует отметить отличие "дневных" "недельных", "месячных"... данных от "внутридневных" Первые рассматриваются как данные, посту-пающие через равноотстоящие, регулярные интервалы времени А. Скажем, А может быть "один день" "одна неделя" .... При обращении же к внутридневной статистике приходится иметь дело с данными, поступающими нерегулярно, в случайные неравноотстоящие моменты ті, т2, ¦ -. с разными интервалами Ai, А2,..., где Ак = тк — тк—і-
Эта нерегулярность вносит определенные трудности для применения уже имеющихся методов статистического анализа данных. Поэтому, как правило, статистические данные сначала подвергаются некоторой предварительной обработке (дискретизация, отбраковка аномальных наблюдений, сглаживание, выделение трендовых составляющих и т.п.).
Остановимся подробнее на приемах дискретизации.
Зафиксируем некоторый "разумный" интервал (реального физического) времени Д. Этот интервал не должен быть слишком "малым" Применительно к статистике обменных курсов, нужно, чтобы этот интервал был репрезентативным в том смысле, что в него попадает значительное число тиков, или, по-другому, чтобы Д было значительно больше среднего времени между двумя тиками. В противном случае образуемое дискрети-
зацией статистическое "сырье" будет содержать слишком много "пустых" данных.
В случае обменных курсов основных валют в работе [204] рекомендуется брать Д > 10 мин., что (помимо требуемой репрезентативности) позволяет также избежать неопределенности, возникающей в связи с тем, что при меньших значениях Д размер спрэда и диапазон изменений в ценах покупки и продажи становятся сопоставимыми.
Простейший метод дискретизации состоит в том, что после выбора Д (скажем, 10 мин., 20 мин., 24 часа, ...) вместо кусочно-постоянного процесса S = (St)t^o с непрерывным временем t ^ 0 рассматривается новая последовательность 5Л = (St д.) с дискретным временем = к А, к = 0,1,... .
Другой, широко распространенный метод дискретизации состоит в том, что сначала кусочно-постоянный процесс
St = So + J2 їкЦтк < t) (1)
fc^i
заменяется на его непрерывную модификацию S = (St), получаемую линейной интерполяцией между значениями (STk):
Тк+1
(2)
St=S.
Тк
тк+1
Т4
п
Т2
ТЗ
t
Tfc+1 — Тк
+ S.
t ~ Тк тк+1 ~Тк
Тк 1.6290 1.6280 1.6270 -•\r\nЛ «. \r\nЛ * / \\ і \' N Л / w \r\n\\ / ^ ^ > \r\nSt 1 1 1 —1— —\r\nto Рис. Затем проводится дискретизация этой модификации S = (St) так, как это описано выше в простейшем методе, т. е. образуется последовательность S& — (Stk) в точках tk = кА, к — 0,1,..., с параметром Д, определяющим тот временной интервал (месяц, неделя, день, 20 мин., 5 мин.,...), который интересует инвестора, трейдера, .... 2. Помимо дискретизации во времени статистические данные могут квантоваться или, попросту говоря, округляться также и по фазовой переменной. Обычно это делается следующим образом. Выбирается некоторое 7 > 0 и вместо исходного процесса S = (St)t^o вводится новый процесс 5(7) = (St( ~y))t>o со значениями (3) 5t(7) =7 .7 . Так, если 7 = 1 и St — 10.54,то St(l) = 10; если же 7 = 3,To5t(3) = 9; тем самым, понятно, что определение (3) соответствует процедуре округления с ошибкой округления 7. Если производится сначала 7-квантование, а затем Л-дискретизация, то из (St) получаем новую последовательность 5Л(7) или SA(7). Поскольку St (7) —У St при 7 —0, то возникает важный вопрос о том, как согласованным образом надо выбирать Д и 7 для того, чтобы значения (Stk (7)) в моменты времени tk = kA, k = 0,1,..., содержали "почти ту же самую информацию, что и (St)" В качестве первого подхода к от-вету на этот вопрос представляется естественным (как это предлагается Ж. Жакодом) сначала выяснить, при каких условиях на скорости сходимости А —у 0 и 7 —у 0 имеет место и сходимость соответствующих конечно-мерных распределений процессов 5Л (7), 5Л (7) к предельному процессу S.