§ld. К статистике "тиков"
Обозначим для к ^ 1
А к =Тк - Тк-1,
полагая то 1 0. Ясно, что знание Law(Aj, Д2,...) равносильно знанию Law(ri, Т2,...).
Тем самым, можно оперировать лишь с распределением промежутков между тиками.Если исходить из гипотезы, что величины Ді, Д2,... одинаково распределены и независимы (это предположение дает возможность обоснования, опираясь на закон больших чисел, состоятельности обычных статистических процедур построения оценок параметров, распределений и т. д.), то наглядное представление о характере их распределения вероятностей можно получить из гистограммы (эмпирической плотности) р (Д), построенной по имеющимся статистическим данным.
В работе [145] приводятся следующие результаты такого анализа для промежутков между 1472 241 тиками в обменном курсе DEM/USD (по данным "Olsen & Associates"; [221]).
С точностью до константы, эмпирическая плотность
Сд-(1+Лх) 23 сек. ^ Д < 3 мин., р (Д) ~ < (1)
[Д-(1+Л2), 3 мин. ^ Д < 3 часа,
где
Ai к 0.13 и А2 к 0.61. (2)
(Этот результат получен на основе анализа 1пр (Д) как функций от 1пД с оценкой Ai и А2 по методу наименьших квадратов.)
В связи с соотношением (1) уместно напомнить, что в математической статистике хорошо известно распределение со степенным характером убывания плотности - это распределение Парето с плотностью (а > 0, Ь> 0)
Г >ь
I 0, х < Ь.
(См. таблицу 6 в § 1а, гл. III.)
Отметим, что часто, особенно в финансовой литературе, распределениями типа Парето и даже просто распределениями Парето называют распределения вероятностей, плотность которых на бесконечности убывает (как у сьустойчивых законов с 0 < а < 2; см. (7) и (8) в § 1а, гл. III) степенным образом. Если следовать этой терминологии, то можно сказать, что соотношение (1) свидетельствует о том, что на интервале [23 сек., 3 мин.) "действует" распределение Парето с показателем а = Ai, а на интервале [3 мин., 3 час.) - с другим параметром, а =
Следует отметить, что при описании вероятностных свойств того или иного индекса трудно рассчитывать на то (и это часто показывает ста-тистический анализ типа приведенного выше), что такое описание может быть получено с помощью какого-то одного, "стандартного" распределения, определяемого небольшим числом неизвестных параметров. И это, скорее всего, объясняется тем, что действующие на рынке "агенты" имеют различные целевые установки, различные ограничения и разное отношение к степени "риска"
2.
Вообще говоря, нет никаких априорных оснований считать величины Лі, Аг,... независимыми. Более того, эмпирический анализ показывает, что время появления следующего тика существенно зависит от степени интенсивности, частоты появления тиков в прошлом. Поэтому становится актуальной задача "правильного" описания условных распределений Law(Afe|Ai,...,Afe_1).В этой связи приведем, следуя [143], одну интересную модель - A CD (Autoregressive Conditional Duration Model) такого описания, родственную моделям типа ARCH.
Пусть существуют (достаточные) статистики фк — Фк(А\\,..., Afc_i) такие, что
Р(Д* < х | Ді,..., Дь_і) = Р(Ак < х | фк). (4)
Простейшим напрашивающимся условным распределением для Ак при условии фк является экспоненциальное распределение с плотностью
р(А\\фк) = ^е~^, Д^о, (5)
для которого (случайные) параметры (фк) определяются рекуррентным образом:
фк = сх0 + аіАк-і +/Зіфк-і (6)
с Д0 = 0, фо = 0, а0 > 0, аг ^ 0 и /Зі ^ 0.
Ясно, что (4)-(6) полностью определяют условные распределения Law(Afe | Ai,..., Дь_і), при этом величины Лі, Д2,. • - будут, вообще говоря, зависимыми.
Заметим, что в рассматриваемой модели условное среднее
E(Afc|Ai,...,Afc_i) =фк- (7)
Понятно также, что авторегрессионная модель первого порядка (6) допускает очевидные обобщения на модели более высокого порядка (см. § Id в гл. Пи [143]).