Оценивание регрессии с АЩ1)-ошибкой полным методом максимального правдоподобия

р

У(а2, р) = а1 Wft) =а2

... р

O р

р 1

1 р р O

N-1

N-1"

2 ®

Дисперсии є, и (І связаны между собой соотношением а = 1 р2.

O

1 -р -р 1+р^

-1

W

(1- р2)

O

1+р2 -р -р 1 J

Применим следующее разложение Холецкого: T T т= W 1(1- р2), где

V!

о

р2 -р

T =

O

-Р 1 j

Определим переменные вспомогательной регрессии следующим образом:

* Т * Т

Y = T TY, X = T TX.

-.—ж- * *

При фиксированном р регрессия Y по X дает оценки максимума правдоподобия для в (это будет оценка МП только в том случае, если X не содержит лагов зависимой переменной !!!). Этот прием называется преобразованием Прэйса-Винстена (Prais-Winsten transformation). Распишем его более подробно:

71* =V1V Y , x*y = V1V ху,

Y- = YІ -рУ-1 , X*y = X -рХі-у V і > 1. Как и следовало ожидать, при і > 1 преобразование совпадает с рассмотренным выше преобразованием при пропущенном первом наблюдении.

В данном случае формула для первого наблюдения отличается от формулы для прочих наблюдений. Поскольку в ней отсутствуют лаги, то ошибка

2

будет равна є, а не ( и дисперсия для первого наблюдения будет равна 1 _ 2

, а не а2. Поэтому первое наблюдение домножается на ~\\J 1-р2 , чтобы избавиться от гетероскедастичности.

Пусть в(р) — оценки коэффициентов из вспомогательной регрессии,

*

e (р) — остатки из вспомогательной регрессии. Мы можем максимизировать по р концентрированную функцию правдоподобия:

1С(р) = - 1 ln| W(р)| - 2 ln((Y- Xв(р)) TW(р)-1(Y -Xem +

* у чТ * у чч

+ const = 2 ln(1—р ) - "2 ln(e (р) e (рр) + const ^ max р. Здесь мы воспользовались тем, что T T т= W-1(1- р2) и ln|W = - ln|W-1| = - N ln(1—р2) - ln|TT т| =

= - N ln(1—р2) - 2 ln|T| = - N ln(1—р2) - 2 ln(V1V ) = = - (N+1) ln(1—р2). Можно показать, что условие первого порядка максимума концентрированной функции правдоподобия представимо в виде кубического уравнения. Максимум находится как средний корень этого уравнения.

Удобно, что при этом оценка р всегда лежит в интервале стационарности (-1;1).

Информационная матрица, как и всегда в модели обобщенного метода наименьших квадратов, является блочно-диагональной. Приводим ее выборочный аналог без доказательства

O

3р 2-1

N

¦ +

С2 (X TX*)-1

1- р2 (1- р2)2 $ (1- р)2

I N«9 Г1 :

O

2R.

2N

, 2

(С (1- рО) СО\'

Иногда первое наблюдение очень важно и добавляет много новой информации.