Регрессия с ARCH-процессом в ошибке

сии могут иметь практическое значение. Владельцев активов интересует, как получить прогноз риска на ряд следующих периодов, если известна информация за текущий и предшествующие периоды.

Для моделирования таких процессов используется понятие условной авторегрессионной гетероскедастичности (ARCH, autoregressive conditional het- eroskedasticity). Ввел это понятие Энгл (Engle, 1982). Основная идея состоит в том, что дисперсия ошибки в момент i зависит от величины квадрата ошибки в предшествующие периоды времени.

Процесс ARCH(p) имеет следующий вид:

? = Щ^Щ) = J + Г1ЄІ1+І2ЄІ2+ ... +Ypsf-p.

Q.i обозначает информацию, которая имеется к моменту i, т. е. все наблюдаемые переменные в момент i - 1 и ранее. В частности, для ARCH(1)

2 2 V = J+ УіЄ-г

Предполагают, что j> 0, ук > 0, чтобы дисперсия не могла оказаться отрицательной.

В случае, когда Є имеют нормальное распределение, очередное значение задается формулой

Є = ViZi, где Z~NID(0,1).

или Є = 4ід/ j+ у і Є-1+І2 Є-2 + ... +YpSi-p-

Такой процесс имеет большое сходство с авторегрессионным.

Обозначим безусловную дисперсию через V2. Тогда, если взять ожида-

ния от обеих частей в формуле для дисперсии, получим

v2 = J+ YiV2 + Y2V2 + ... +yv2. Здесь мы воспользовались формулой полного математического ожида

ния:

E(V2) = Е(Е(Є2РІ) ) = Е(Є2) = V2. Получаем выражение для безусловной дисперсии

v2 = J

v = p .

1 - ІІк к = 1

Отсюда видно, что для того, чтобы ARCH-процесс был стационарным

p

необходимо, чтобы І ук < 1.

к = 1

На практике структура лага у1, ...

? ? ? ?

у1 = 0.4^ , Уі = 0.3Y , Уз = 0.2Y , У4 = 0.1 у ,

поэтому вместо четырех коэффициентов, ему надо было оценить только один

*

Y .

Если воспользоваться бесконечным геометрическим лагом, то можно преобразовать модель к виду

а2 = 1+ У1ЄІ1 + ^Юі—1. Эта модель называется GARCH(1,1). Как ARCH похожа AR на , так GARCH похожа на ARMA. Модель GARCH предложена Боллерслевом (Bollerslev, 1986).

GARCH(p, д)имеет вид:

а = 1+ ПЄ-1+ ... +ГрЄі-Р+ ^1^,-1+ ... + ^О-Т

2 2 2 2 2

—p

p q

=1+ I Yk Є—k + I 4 alk.

k = 1 k = 1

Безусловная дисперсия равна

а2 = 1

p q

1 - I Yk - I 4 k = 1 k = 1

Регрессионная модель с нормально распределенной GARCH-ошибкой имеет вид:

Yj = Xiв+ є, є ~N(0, а2),

где аа вычисляется по данной выше формуле. К сожалению, не существует

простого способа оценивания регрессии с GARCH-процессом в ошибке.

Логарифмическая функция правдоподобия для одного наблюдения равна

1 1 е 2 \\ 11 і=2 lnof - 2 а=2 ыа2 - 2 "О2 (Yj - Xt в)2,

для всего вектора наблюдений

2

1 2 1 eі 1 = Е/,=2 1по - 2 =

1 2 1 1 2 =2 I in^i2 - 2 Ii-2 (Y - Xttf,

a

i

2

где a вычисляется рекуррентно:

p q

a2(A y S) =p + X yk elk(fi) + X S a-k(A Y, S).

k = 1 k = 1

Обозначим a = ( p, Y1,... ,Yp, S,... , Sq)T, г,- = (1, є-Р ... , є-р, a-1, ..., a-p)T. Тогда af =aJz,.

Вклад в градиент отдельного наблюдения:

2 2

di=1)+х X

ер-2 a2 дв(a2- + a2 e,Xi, 2 2

di=I 1 da (fL - 1)

da 2 a2 da (a2

і і

Производные условной дисперсии вычисляются рекуррентно:

а 2 л 2

a „p v q ? da-k

"дв = "2 I Yk X,-k e,-k + z Sk -ду, k 1 k 1

а 2 л 2

a q da ,

i_ T о ,-k

да = z- + kI1Sk da ¦ k = 1

Приведенные формулы уже позволяют применить метод BHHH (OPG), как предложил Боллерслев. Однако, метод, как обычно, работает плохо в смысле сходимости и точности оценивания ковариационной матрицы оценок МП.

Чтобы найти оценку информационной матрицы, возьмем в точке истинных параметров математическое ожидание условное по информации, имеющейся на момент i (О,-), от матрицы внешнего произведения градиента i-го наблюдения. Поскольку ожидание условное, то единственной случайной компонентой будет ошибка (в точке истинных параметров остатки равны

ошибкам). При этом пользуемся тем, что 2 2

E(( a - 1) є | О,) =0, E(( a - 1)2 | О,) = 2 и Б(є2 | О,) =a2.

aa

i i

а 2 л 2

ддк ді1 двдв1

а да 1

Е(двдвт I П) = - 2 (~2)2 дв - Т2 Xt Xi

(а2)2 авав1 а

1 1

ді, ді

а 2 ^ 2 а д_

E(

(а.2)2 да дат

дада

т |П) = - 2 (а2)2

ді, ді,

1 1

да. да2

E(

дадвт |Qj) 2 (а2)2 да двт .

Информационная матрица равна безусловному ожиданию суммы условных мат. ожиданий гессианов со знаком минус:

ді Я/-

zNO)=—E(I,E( § O I n,.))

2 2

n 11 да, да, 1 т

Хяя = I,E( 2 "дв дв + ~ X,X, ),

i2

в

(а2)2 дв дв1 __

да. да2

2 2 1 1 да да

f Nn = ZE( 2 , _2\\2

т),

f n =i E(— 1 —1 — —)

(а.2)2 да да

аа

хав I,E( 2(а2)2 да дв

Можно показать, хотя доказательство достаточно громоздкое, что І^р =

O. Таким образом, информационная матрица является блочно-диагональной между коэффициентами регрессии и параметрами GARCH-процесса. Информационную матрицу можно состоятельно оценить матрицей:

N

ІN O fвв O

N

O f

аа

где

а 2 л 2

а да

a 2 л 2

а да

iN = Z 1

:рр 2 (а2)2 дв дв1 1 О

1

т + "Г Xj X,T и fN = I.

2 11 аа 1

1 1

т.

Ji 2 (_2)2 да да1

Для нахождения оценок максимального правдоподобия можно применить обычный алгоритм:

в\'+1 = в\' + Яр(:fвв,)-1^р(^,), а\'+1 = а \' + Да (;fNe,)_1гN (O).

Прежде чем оценивать GARCH-регрессию, имеет смысл проверить наличие GARCH-процесса в ошибке с помощью теста множителя Лагранжа в точ-

ке оценок ОМНК.

LM = gT (1N )~lg .

°а v aaJ ° a

При нулевой гипотезе об отсутствии GARCH-процесса aa = ju = a2, и

статистику можно упростить. Найдем эту статистику только в частном случае

ARCH модели:

2 2 da = T _ = 1 X T (eL 1) ^ N = у 1 1 T

da = zi ^ da = 2 a2z (- U -Laa = у 2^2z- z-.

2

ei

Пусть — — вектор-столбец, состоящий из 2 - 1, Z — матрица, строками

a

которой являются z,J = (1, ei-1, ... , e-p. Тогда

~ T = д± = 1 X TZ * N = 1 1 zTz

= da = 2 a2 - Z, 1 a = 2(0)2ZZ.

LM = 2 -TZ (ZTZ)-1Z T- ~ x2(p).

Энгл предложил несколько изменить форму статистики. Для этого используется то, что поскольку ошибки распределены нормально, то Plim -T-/N = 2. Асимптотически эквивалентной статистикой будет

LM* = j-jZ (ZTZ)-1Z V Х2(Р).

Эта статистика равняется ^R2, где R2 — коэффициент детерминации в

регрессии квадратов остатков по Z, то есть по константе и p лагам квадратов остатков.