Интегрированные процессы, ложная регрессия и коинтеграция

Чтобы проиллюстрировать различие между стационарными и нестационарными случайными процессами, рассмотрим авторегрессию первого порядка ( AR(1) ), т.е.

Yt = j + pYt_! + st , t = (-X,...,0,1,...+X) (предполагаем, что st ~ IID(0,a ) — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым мат. ожиданием и дисперсией a2).

Слабое определение стационарности требует, чтобы математическое ожидание Yt было постоянным (или нулевым), а ковариации не зависели от времени, только от лага:

2

Yt = const (= 0) , var(Yt) = aY = const, cov (Yt,Yt-T) = cT.

Покажем, что если I p I < 1, то процесс AR(1) будет стационарным. Решая

уравнение авторегрессионной модели, получим Y = j + , ^

Iao. teeaaiea Y їабаіаіііе їтоіуііі: E(Y ) = i-p. Второй член —это взвешенная сумма ошибок (геометрический распределенный лаг). Условие I p \\ < 1 гарантирует, что дисперсия этой суммы, а следовательно, и дисперсия Y конечна:

(1

aY = X pl var(?) = a - 2 •

1-

Найдем также автоковариации процесса:

cov(Y, Y-t) = X p Tp2lae2 = a? -P

1-

i = 0

Таким образом, рассматриваемый процесс слабо стационарен. На самом деле, поскольку ошибки st одинаково распределены, то он стационарен и в сильном смысле.

Вывод изменится, если рассмотреть процесс с определенного момента времени, например, с t = 1. Предположим, что Y0 — детерминированная ве-

личина. В этом случае процесс AR(1) не будет стационарный по данному выше определению. Дисперсия Y и автоковариации будут зависеть от t:

var(Yt) = Gy t, cov (YhYt-T) = czt.

Однако со временем такой процесс (если только I р\\ < 1) все больше приближается к стационарному. Его можно назвать асимптотически стационарным.

При I р \\ > 1 это будет "взрывной" процесс.

Авторегрессионный процесс первого порядка при р = 1 называют случайным блужданием. Если л =0, то это случайное блуждание в собственном смысле слова, а при ЦФ 0 это случайное блуждание с дрейфом.

Нет смысла рассматривать случайное блуждание, начавшееся бесконечно давно, поскольку за бесконечное время процесс "уходит в бесконечность", его дисперсия становится бесконечной.

Для процесса, начавшегося в момент t = 1 имеем:

Yt = Л + І єї +Y0, E(Yt) = at + Y.

i = 1

Таким образом, константа ("дрейф") в авторегрессионной записи процесса приводит к появлению линейного тренда в Yt. Дисперсия равна

var(Yt) = tSe\\ Она возрастает бесконечно со временем.

Случайное блуждание является примером авторегрессионого процесса с единичным корнем. Он называется так по следующей причине. Запишем AR(1) с помощью лагового оператора:

(1 - р L) Yt = л+ єг.

В левой части этого уравнения первый множитель — многочлен первой степени от лага. Корень этого многочлена равен 1/р. При р=1 корень многочлена равен 1.

В случае авторегрессионого процесса произвольного порядка имеем

f (L) Yt = л + є^

Если все корни многочлена f (.) по модулю больше 1, то есть лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости, то процесс стационарен. Если один из корней лежит в пределах единичного круга, то процесс "взрывной". Если же к > 0 корней лежат на единичной окружности, а осталь-

ные — за ее пределами, то процесс нестационарный, но не "взрывной" и о нем говорят, что он имеет к единичных корней.

Первые разности AYt авторегрессионого процесса первого порядка с р=1 есть просто ошибки єь т.е. первые разности стационарны. Нестационарный процесс, первые разности которого стационарны называют интегрированным первого порядка и обозначают 1(1). Стационарный процесс обозначают 1(0). Если k-e разности случайного процесса стационарны, то его называют интегрированным k-го порядка и обозначают I(k).

Рассмотрим, например, процесс t

Zt = iYi, где Yt = Yt-1 + єР ї = 1

2

Он будет I(2), то есть вторые разности (A zt) стационарны.