Регрессия с мультипликативной гетероскедастичностью
дисперсия ошибки равна
Здесь Z — матрица, состоящая из переменных, от которых зависит дисперсия (как правило, в ней должен быть столбец, состоящий из единиц), а — вектор параметров.
Регрессия задана формулой:
Yt=Xtв+ Єі , Єі ~ NID(0,<2(a)).
Предполагается, что неизвестные параметры в "среднем" и в дисперсии не связаны между собой.
Логарифмическая функция правдоподобия і-го наблюдения для этой модели имеет вид:
і =
- 2 ln(2n—z(a )) - ON) (Yj - Xi P2
1Л „ ч 1 „ e_L
= - 2 ln(2n) - 2 Z,N - 2exp(ZjN) Найдем вклад в градиент і-го наблюдения:
ді = 1 X др аО(а )
дії = 1 Z еі 7 = I ( e} да = - 2 Zj + 2 exp(ZN) Zi = 2 —2(N ) - 1)Zj.
Вклад в информационную матрицу і-го наблюдения равен
Е(ді дії т) = E^) т = X т Е(др др ) = а4 = — XX ,
E(|P^T) = 1 Е(-ё- (ON - 1)) XtZtJ = 0, кд0да \' 2 — (а) а (а) 77 j j
ді, ді1 т 1 g4 _
Е(дада ) = 4 E—4(N) " 2 —2(а) + 1) ZZ = = 4(3 - 2 + 1) Z,ZjT= 1 ZjZjT.
Таким образом, информационная матрица (как и следовало ожидать) блочно-диагональная и блоки ее равны:
1Р=XT diag(a115\' •••• ON2)X 2Z Z
При данном векторе а, коэффициенты регрессии в можно найти из взвешенной регрессии:
р= (X *TX *)-1(X-V),
* 1 * 1 * где X = — X, Y = — Y.
Обозначим остатки из этой регрессии e (а). аі аіИспользуем итерации по а:
at+1 = cN + JNNN)-1 gN= cN + AN1.
Аа1 можно находить с помощью вспомогательной регрессии —(а1)
2
1 ег * 2
по ф Z, где -г = с - 1 = (ег ) - 1.
Обе используемые в этом алгоритме вспомогательные регрессии дают состоятельные оценки ковариационных матриц соответствующих оценок параметров и могут использоваться для проверки гипотез.