Нелинейная регрессия

Между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения.

Примерами нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным являются следующие функции:

Во всех приведенных выше и далее регрессиях слагаемое и сомножитель е означает ошибку (погрешность) регрессии случайной величины д на случайную величину у.

Нелинейные регрессии первого класса

Нели нс лазя репрессия по включенным переменным (первого класса) определяется, как и в линейной реп рессии, методом наименьших клад ратов (МНК), так как эти функции линейны по параметрам Н* пример. в параболе второй степени, которую запишем в виде

и I. д.

Таким образом, полином любого порядка сводится к линейном регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. D экономических исследованиях чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Применение МИК для оценки параметров параболы в горой степени приводит к следующей системе норм, льных уравнений:

Система содержит 3 уравнения с 3 неизвестными коэффициентами а,,, а,, а-,, и се решение может быть произведено по формулам Крамера.

Пример 1.

Данные результатов наблюдении представлены в таблице.

Определить методом наименьших квадратов параметры я0, аи а2 зависимости ви та у = ой + о,д- + вуг:.

Решение.

Составим вспомогательную таблицу и произведем расчеты, необходимые для составлении системы нормальных уравнений.

Решая эту систему методом Крамера, получим: а0= -2,42. л, = -0 44, аг = 1,64. Таким образом, уравнение нелинейной регрессии на у примет вид

Парабола второй степени при Ь > (1 и с < б симметрична относительно высшей точки, т. е. точки максимума, изменяющей направлен не связи, а именно, рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического груда от возраста— с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения обита п повышения квалификации работника. Однако с определенного момента из-за старения организма и снижении производительности труда дальнейшее повышение возрагта может приводить к снижению заработной платы работника.

При Ь < 0 и с> 0 парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. снижение на рост.

Из-за симметричности кривой парабола второй степени далеко нс всегда пригодна в конкретных исследования ї, чаще имеют дело лишь с отдельными сегментами параболы.

Она может быть использована на микро- и макроуровне, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, гонамиа с объемом выпускаемой продукции, зависимости времени об ращения товаров от величины товарі,оборота.

Для равное тройней птербо ш (Ніб) обозначим г= 1/л гої ла получим линейное уравнение регрессии

При h> 0 имеем обратную липипшогть, которая при г—>• да характеризуется ннжней асимптотой.

При b < 0 имеем медленно возрастилцую функцию с верхней асимп

г Атой npit д\' —> те.

Примерим такой зависимости может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов) Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривых Энгеля. В 1857 г. немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность — с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно, с увеличением дохода доля доходов, расходуемых на непродовольственные товтры, будет возраста! ь. Однако это увеличение не беспредельно, ибо сумма долей расходуемых на все товары не может быть больше единицы.

Нелинейные регрессии второго класса

Рассмотрим регрессию, нелинейную по оцениваемым параметрам (второго класса). Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два тина: нелинейные мпдел и внутренне линейные н нелинейные моден) внутренне пеяинейпые. Если нелинейная модель внутренне лп-

нейна, то она г помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду- Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она нс может выть сведена к линейной функции.

где у — объем спроса; х — цена; е — случайная ошибка.

Модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает парам* тры а и Ь неаддпгнвпо. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование данного уравнения приводит его к линейному виду:

Параметр Ь определяется из системы, а параметр а — потенцировапн ем выражения 1п а

При утом предполагается, что случайная ошибка е функции (16.9) чу і ьтип у шатии) ю связана с объясняющей переменной д Если же модель представить з виде

то она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид.

К внутренне нелинейным относятся модели вида

Эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения линейные по коэффициентам.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для опенки параметров используют! я итерагнвные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративно го подхода. Модели вт гренне нелинейные по парамег рам могут

использоваться в жонометричсских исследованиях. Однако траздо бол ь шее рас11 рострален не получили модел и. приводимые к л и не і и го- му виду.

Из нелинейных функций, которые могут бы I Ь приведены к лилейному виду, в качестве нелинейной реіреспіп широко mпользуется степенная функция ух - ал!\'. Эго объясняется гем. что параметр h в пей является шЛффіщиентам д іас.пшчппгти, показывающим, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменятся на 1%. Коэффициент эластичности (Э) в качестве нелинейном регрессии вычисляется но формуле

где/\' (_т) первая производная функции.

Коэффициент эластичности можно определять н при наличии других форм СВЯЗИ, но только для степенной функции он представ пнет собой постоянную величину, равиую параметру Ь. В др гпх функциях коэф- фицпенг эластичности записи г ш значений фактора д. Например, для линейной регрессии у - а + Ъх имеем:

В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит иг соответствую нити значения х, то обычно рассчитывается rpeônuu показатель эластичности

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Эго происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, измениіся на 1 %. В такой ситуации степенная функция даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (нехотя из наименьшего значения остаточном вариации), не может быть эконом 11 чески і ш терп ре п іро вана.

В моделях нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду МНК применяется к преобразованным уравнениям. Ег.пн в ш ней ной модели и моделях нелинейных но переменным

при щ Let frit- параметров исходят из критерия I (у - -»min. го и моделях не/ ем пых пн оцениваемым параметрам требование МНК

Применяемся не к исходным кишим результативного признака, а к их иреобразованным величинам In у, l/х. Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонении в логарифмах, бел еде. вис этот оценка параметров для линеаризуемых функций МНК оказывается несколько смещенной.

Практическое применение некоторых нелинейных регрессий, например экспоненты, вс*можно, если результативный признак не имеет о 1рлнательных значении. Поэтому если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятии, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована

16.2.