Нелинейная корреляция

У pain ie mre нелинейной регрессии так же как и в линейной зависимо cm, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R:

align=left>

Индекс корреляции и сходится в границах 0 < /? < 1 и чем ближе эта величина к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков н более надежно найденное уравнение регрессии.

Пример 2.

Вычислить индекс корреляции на «сновании данных примера 1.

Значения у, определим путем подстановки в полученное в примере 1 выражение

VI11деке корреляции близок к единице, поэтому МОЖНО Vделать ВЫВОД о довольно тесной связи между заданными величинами.

Парабола шо]Юп степени, как и полипом более высокого порядка, при линеаризации принимает вид уравнения миг оксственной рггрссгни. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина Китпрого в этом случае совпадет с индексом корреляции /^Г = гм, где г — преобразованная величина признака-фактора, например, 2~ 1 /х или г = )п х.

Иначе обстоит дело, когда преоирлэпвалпя уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по прсобра юваиным значениям признаков дает приближенную оценку тесноты связи и не совпадаете индексом корреляции. Например, для степенной функции уг= ах1’ после перехода к линейному уравнению )п у = т>а +Ьп х может бтпъ вычислен линейный коэффициент корреляции не для фактических переменных .1 и у, а для их логарифмов.

Нс совпадают данные показатели и для уравнения регрессии в виде экспоненты, гак как при преобразовании в линейную форму рассчитывается линейный коэффициент корреляции между гм 1п у. При использовании в преобразовании нелинейных соотношении в линейную

форму обратных шйченнн результат]шного признаку т. е 1 Л/, индекс корречяцин /ф, также не будет совпадать с линейным коэффициенты КОррГ 1ЯЦ11Н.

Следует иметь в виду что если при линейной зависимости признаков один н тот Жг коэффициент корреляции характеризует регрессию пак у:1 = а *■ Ь г, гак ид- =А + Ву. так как гт = .то При пели пен и о и запн симости Я^, для функции у -/(л ) не ранен Н,и для регрессии т -/(у). Поскольку в расчете индекса корреляции псшпьзуется сочтнпшение факторной и обще!] суммы квадратов Отклонении, то Кг имеет тог же смыгл. что и индекс детерминации

Оценка существенIгост индекса коррс алц.ш проводится так же, как и опенка надежности чиненного ко эффнциента корреляции.

Индекс Аетёрлтноцни Я1 используется для проверки существенное] н в целом уравнения нелинейной регрессии по ^-критерию Фишера:

где Я2 - индекс детерминации; и — число наблюдений; гг — число параметров при переменных х

Величина т характеризует число степеней г побил ы для факторной суммы квадратов, а (г - т - 1) — число степеней пюботы для остаточной суммы квадратов.

Для степенной функции у} = иУ‘ т= 1, н (формула дли определения і-\'крнтерня примет тот же вид.

Пример 3. Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей хаоахтеоизустея следующими данными: соавненпе

Привести дисперсионный анализ полученных результатов. Решение. Вычислим нес/«\'

Упражнения

Определить методом наименьших квадратов параметры а, Ь зависимости вида у = а ► Ь/х.

Определить методом наименьших квадратов параметры д. Ь за вит м мот гы вида у = а дА.

16.4. По данным упражнения 16.1 вычислить индекс корреляции н сделать вывод о тесноте связи между заданными величинами х,у.

16.5. По данным упражнения 16.2 вычислить индекс корреляции и сделать вывод о гееннге связи между заданными непччинами а, у.

16.6. По данным упражнения 16.3 вычисли гь индекс корреляции и еде чать вывод о тесноте связи между заданными величинами а, у.

17.1.