Коэффициент корреляции

В этой главе большое внимание уделено ковариации. Это объясняется тем, что она весьма удобна с математической точки зрения, а вовсе не тем, что ковариация является особенно хорошим измерителем взаимосвязи между величинами.

Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы — теоретическую и выборочную. Теоретический коэффициент корреляции традиционно обозначается греческой буквой р, которая произносится как «ро» и соответствует латинской «г». Для переменных х и у этот коэффициент определяется следующим образом:

pop.cov(x,y)

(1.23)

Рх’У gt;/pop.var(x)pop.var(y)

Если х и у независимы, то р равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то аху, а следовательно, и рху будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то рху примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости р будет отрицательным с минимальным значением —1.

Выборочный коэффициент корреляции г определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариации в выражении (1.23) на их несмещенные оценки. Мы показали, что такие оценки могут быть получены умножением выборочных дисперсий и ковариации на п/(п — 1). Следовательно,

г

-?-rCov(x,y) я-1

(1.24)

Множители п/(п — 1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как

Cov(x,y)

(1.25)

Т s              \'

х\'у /Var(x)Var(y)

Подобно величине р, г имеет максимальное значение, равное единице, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у (когда на диаграмме рассеяния все точки находятся точно на восходящей прямой линии). Аналогичным образом г принимает минимальное значение —1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина г = О показывает, что зависимость между наблюдениями х и у в выборке отсутствует. Разумеется, тот факт, что г=0, необязательно означает, что р = 0, и наоборот.