Теоретическая дисперсия выборочного среднего

Если две переменные независимы (и следовательно, их совокупная ковариация равняется нулю), то теоретическая дисперсия суммы этих переменных будет равна сумме их теоретических дисперсий:

pop.              var (х + у) = pop.

= pop. var (x)              + pop. var (y) = a2 + a2.              (1.21)

Из данного результата можно получить более общее правило о том, что теоретическая дисперсия суммы любого числа переменных равняется сумме их дисперсий при условии, что наблюдения независимы друг от друга. При этом можно показать, что если случайная переменная х имеет дисперсию а2, то дисперсия выборочного среднего х будет равна о2/л, где п — число наблюдений в выборке:

pop. var (х) = pop. var +\'~ +—n 1 = -Дг- pop. var (xj + ...+ xn) =

{ n in

= -4-{pop.var(xj) + ... + pop.var(x„)} =              -y{°2 +...+о2} = ^-{яо2} = о2 / я.              (1.22)

я              я              я              \'

Как было показано в обзоре, выборочное среднее является наиболее эффективной несмещенной оценкой теоретического среднего при условии, что наблюдения проводятся независимо друг от друга на основе одного и того же распределения.