Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии

Коэффициент хеджирования аналогичный формулам (1.11) и (1.12) можно определить на основе минимизации дисперсии портфеля инвестора. Рассмотрим данный подход подробнее.

Пусть инвестор владеет портфелем, состоящим из единицы базисного актива и h единиц фьючерсного контракта.

Его стоимость равна:

где V— стоимость портфеля;

S - стоимость единицы базисного актива;

F - стоимость фьючерсного контракта; h - коэффициент хеджирования.

При изменении спотовой цены акции на величину AS фьючерсная цена изменится на AF . Соответственно стоимость портфеля изменится на А V:

где А - изменение значения соответствующей переменной.

Хеджер заинтересован в том, чтобы при изменении конъюнктуры рынка стоимость портфеля изменялась бы на минимально возможную величину. Другими словами, его позиция должна быть построена таким образом, чтобы минимизировать возможное изменение, т. е. дисперсию, величины AV. Решение данной задачи зависит от количества фьючерсных контрактов /г, которые следует открыть.

Величина AV состоит из двух слагаемых: AS и ЛF. Поэтому дисперсия А V представляет собой дисперсию суммы данных величин. Возьмем дисперсию от левой и правой частей уравнения (1.13):

где Var означает дисперсию.

Дисперсия суммы двух слагаемых равна сумме их дисперсий плюс два коэффициента ковариации. Таким образом, формула (1.14) раскрывается как:

где & as ~ дисперсия переменной AS;

Оaf - дисперсия переменной AF ;

covas,af - ковариация между AS и AF .

Чтобы минимизировать величину Var (А V) надо найти ее производную по и

приравнять ее к нулю. Поэтому дифференцируем уравнение (1.15) по h и приравниваем результат к нулю:

Отсюда находим значение h :

Знак минус в формуле (1.16) говорит о том, что по фьючерсному контракту позиция должна быть противоположна позиции по спотовому инструменту.

Поскольку вторая производная ?ar{AV) по h величина положительная, то

найденное значение коэффициента хеджирования является минимумом функции (1.13). Таким образом, найденная величина h минимизирует дисперсию стоимости портфеля хеджера.

В формуле (1.16) ковариацию можно выразить через корреляцию. Тогда коэффициент хеджирования примет вид:

Как отмечают S.G.Cecchetti, R.E Cumby и S. Figlewski, если фьючерсная цена характеризуется такой же или большей волатильностью чем спотовая, что

является обычным случаем, то коэффициент хеджирования минимальной дисперсии не может быть больше значения коэффициента корреляции между ними, который будет меньше единицы. Это непосредственно следует из формулы

(1.17), так как cr^p > ctas . Таким образом, коэффициент хеджирования минимальной дисперсии обычно меньше единицы.

Цель расчета коэффициента хеджирования по формулам (1.16) или (1.17) состоит в том, чтобы определить количество фьючерсных контрактов, способных исключить риск позиции хеджера. Однако, как подчеркивают S.G.Cecchetti, R.E Cumby и S. Figlewski, “доходность хеджированной позиции обычно подвержена риску неожиданных изменений в соотношении цен между хеджируемой позицией и фьючерсным контрактом.

В связи с данным “базисным риском” ни один коэффициент хеджирования не может целиком исключить риск.” Кроме того, следует также отметить, что расчет коэффициента осуществляется на основе прошлых данных статистики. В то же время будущий период времени, для которого решается задача страхования, может не точно характеризоваться прошлыми результатами.

В теории и на практике при расчете коэффициентов хеджирования в формулах (1.16) или (1.17) в качестве переменных величин могут использоваться не только абсолютные изменения спотовой и фьючерсной цен, т. е. AS и AF, но и их процентные изменения[3] и логарифмические изменения. Процентные изменения цен представляют собой не что иное как простую доходность, а логарифмические - непрерывно начисляемую доходность.

Поясним механизм расчета коэффициента для второго случая. На основе

цен закрытия акции за предыдущие п+ 1 периодов: , Sx, и т. Д. Sn, где S0 - цена акции при закрытии в конце нулевого дня, - цена акции при закрытии в конце первого периода и т. д. определяем доходность акции за каждый период по формуле:

[1] Cecchetti S.G., Cumby R.E., Figlewski S. “Estimation of the optimal futures hedge.”// Review of Economics and Statistics, 1988, Vol. 7, p. 624.

где і последовательно принимает значения от 1 до +1.

второй период

Тогда доходность акции за первый период равна

и т. д. Получили ряд доходностей акции, состоящий из п наблюде

ний.

Аналогично берем котировки фьючерсного контракта при закрытии за те же самые даты: F0, Fx, F2, и т. д. и на их основе по формуле:

hspace=0 vspace=0 align=left> второй период )

определяем процентное изменение фьючерсной цены (доходность фьючерсного

и т. д. Получили ряд процентных изменений фьючерсной цены, состоящий из п наблюдений. Далее коэффициент хеджирования считаем по формулам:

где covAF - ковариация доходности акции с доходностью фьючерсного контракта;

согга f ~ корреляция доходности акции с доходностью фьючерсного контракта;

(тА- стандартное отклонение доходности акции;

сг р- стандартное отклонение доходности фьючерсного контракта;

Возникает вопрос, являются ли значения коэффициентов хеджирования, рассчитанные на основе разных переменных, одинаковыми или нет. Ответ на него дается в статье Е.Terry “Minimum-variance futures hedging under alterative return specifications”. По итогам исследований автор приходит к следующим выводам. Если расчеты проводятся на основе абсолютных изменений спотовой и фьючерсной цен, то формулы (1.16) и (1.17) дают значения коэффициентов, которые минимизируют дисперсию стоимости позиции хеджера. Если же в данных формулах в качестве переменных используются простые или непре-

1 В прямом смысле этого слова формула (1.19) дает не доходность фьючерсного контракта, а процентное изменение фьючерсной цены.

1 Тепу Е. “Minimum-variance futures hedging under alterative return specifications”// The Journal of Futures Markets, 2005, Vol. 25.

рывно начисляемые доходности, то в значениях коэффициентов возникает погрешность.

Разница в результатах для всех трех случаев является относительно небольшой при хеджировании ближайшим фьючерсным контрактом (спот хеджирование). Е.Terry также отмечает, что в статьях, в которых исследовалась данная проблема, рассматривались именно такие ситуации. Поэтому не удивительно, что авторы получали хорошие результаты для всех трех вариантов.

Коэффициенты хеджирования, рассчитанные на основе простых или логарифмических доходностей при кросс-хеджировании, могут существенно снизить результаты страхования.

Е.Теггу отмечает, что коэффициенты хеджирования можно рассчитывать как на основе любых перечисленных выше переменных. Выбор переменной определяется особенностями ее статистического ряда. Например, большая часть участников рынка предпочитает работать с процентными изменениями цен, а не с абсолютными значениями. Однако в этом случае коэффициенты минимальной дисперсии должны рассчитываться не по формуле (1.16), а по формулам (П. 10) и (П.11). Данные формулы представлены в приложении 1 к настоящей главе.

Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии

Еще по теме Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии: