Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии

Коэффициент хеджирования аналогичный формулам (1.11) и (1.12) можно определить на основе минимизации дисперсии портфеля инвестора. Рассмот­рим данный подход подробнее.

Пусть инвестор владеет портфелем, состоящим из единицы базисного ак­тива и h единиц фьючерсного контракта.

7

где V— стоимость портфеля;

S - стоимость единицы базисного актива;

F - стоимость фьючерсного контракта; h - коэффициент хеджирования.

При изменении спотовой цены акции на величину AS фьючерсная цена изме­нится на AF . Соответственно стоимость портфеля изменится на А V:

где А - изменение значения соответствующей переменной.

Хеджер заинтересован в том, чтобы при изменении конъюнктуры рынка стоимость портфеля изменялась бы на минимально возможную величину. Дру­гими словами, его позиция должна быть построена таким образом, чтобы ми­нимизировать возможное изменение, т. е. дисперсию, величины AV. Решение данной задачи зависит от количества фьючерсных контрактов /г, которые следу­ет открыть.

Величина AV состоит из двух слагаемых: AS и ЛF. Поэтому дисперсия А V представляет собой дисперсию суммы данных величин. Возьмем диспер­сию от левой и правой частей уравнения (1.13):

где Var означает дисперсию.

Дисперсия суммы двух слагаемых равна сумме их дисперсий плюс два ко­эффициента ковариации. Таким образом, формула (1.14) раскрывается как:

2

где & as ~ дисперсия переменной AS;

Оaf - дисперсия переменной AF ;

covas,af - ковариация между AS и AF .

Чтобы минимизировать величину Var (А V) надо найти ее производную по и

приравнять ее к нулю. Поэтому дифференцируем уравнение (1.15) по h и при­равниваем результат к нулю:

Отсюда находим значение h :

Знак минус в формуле (1.16) говорит о том, что по фьючерсному контракту по­зиция должна быть противоположна позиции по спотовому инструменту.

Поскольку вторая производная ?ar{AV) по h величина положительная, то

найденное значение коэффициента хеджирования является минимумом функ­ции (1.13). Таким образом, найденная величина h минимизирует дисперсию стоимости портфеля хеджера.

о

В формуле (1.16) ковариацию можно выразить через корреляцию. Тогда коэффициент хеджирования примет вид:

Как отмечают S.G.Cecchetti, R.E Cumby и S. Figlewski, если фьючерсная цена характеризуется такой же или большей волатильностью чем спотовая, что

является обычным случаем, то коэффициент хеджирования минимальной дис­персии не может быть больше значения коэффициента корреляции между ними, который будет меньше единицы. Это непосредственно следует из формулы

(1.17), так как cr^p > ctas . Таким образом, коэффициент хеджирования мини­мальной дисперсии обычно меньше единицы.

Цель расчета коэффициента хеджирования по формулам (1.16) или (1.17) состоит в том, чтобы определить количество фьючерсных контрактов, способ­ных исключить риск позиции хеджера. Однако, как подчеркивают S.G.Cecchetti, R.E Cumby и S. Figlewski, “доходность хеджированной позиции обычно под­вержена риску неожиданных изменений в соотношении цен между хеджируе­мой позицией и фьючерсным контрактом.

В теории и на практике при расчете коэффициентов хеджирования в фор­мулах (1.16) или (1.17) в качестве переменных величин могут использоваться не только абсолютные изменения спотовой и фьючерсной цен, т. е. AS и AF, но и их процентные изменения[3] и логарифмические изменения. Процентные из­менения цен представляют собой не что иное как простую доходность, а лога­рифмические - непрерывно начисляемую доходность.

Поясним механизм расчета коэффициента для второго случая. На основе

цен закрытия акции за предыдущие п+ 1 периодов: , Sx, и т. Д. Sn, где S0 - цена акции при закрытии в конце нулевого дня, - цена акции при закры­тии в конце первого периода и т. д. определяем доходность акции за каждый период по формуле:

[1] Cecchetti S.G., Cumby R.E., Figlewski S. “Estimation of the optimal futures hedge.”// Review of Economics and Statistics, 1988, Vol. 7, p. 624.

где і последовательно принимает значения от 1 до +1.

Тогда доходность акции за первый период равна

и т. д. Получили ряд доходностей акции, состоящий из п наблюде­

ний.

Аналогично берем котировки фьючерсного контракта при закрытии за те же самые даты: F0, Fx, F2, и т. д. и на их основе по формуле:

определяем процентное изменение фьючерсной цены (доходность фьючерсного

контракта). За первый период оно равно

и т. д. Получили ряд процентных изменений фьючерсной цены, состоящий из п наблюдений. Далее коэффициент хеджирования считаем по формулам:

где covAF - ковариация доходности акции с доходностью фьючерсного кон­тракта;

согга f ~ корреляция доходности акции с доходностью фьючерсного контракта;

(тА- стандартное отклонение доходности акции;

сг р- стандартное отклонение доходности фьючерсного контракта;

Возникает вопрос, являются ли значения коэффициентов хеджирования, рассчитанные на основе разных переменных, одинаковыми или нет. Ответ на него дается в статье Е.Terry “Minimum-variance futures hedging under alterative return specifications”. По итогам исследований автор приходит к следующим выводам. Если расчеты проводятся на основе абсолютных изменений спотовой и фьючерсной цен, то формулы (1.16) и (1.17) дают значения коэффициентов, которые минимизируют дисперсию стоимости позиции хеджера. Если же в данных формулах в качестве переменных используются простые или непре-

1 В прямом смысле этого слова формула (1.19) дает не доходность фьючерсного контракта, а процентное изменение фьючерсной цены.

1 Тепу Е. “Minimum-variance futures hedging under alterative return specifications”// The Journal of Futures Markets, 2005, Vol. 25.

рывно начисляемые доходности, то в значениях коэффициентов возникает по­грешность.

Разница в результатах для всех трех случаев является относительно не­большой при хеджировании ближайшим фьючерсным контрактом (спот хеджи­рование). Е.Terry также отмечает, что в статьях, в которых исследовалась дан­ная проблема, рассматривались именно такие ситуации. Поэтому не удивитель­но, что авторы получали хорошие результаты для всех трех вариантов.

Коэффициенты хеджирования, рассчитанные на основе простых или лога­рифмических доходностей при кросс-хеджировании, могут существенно сни­зить результаты страхования.

Е.Теггу отмечает, что коэффициенты хеджирования можно рассчитывать как на основе любых перечисленных выше переменных. Выбор переменной оп­ределяется особенностями ее статистического ряда. Например, большая часть участников рынка предпочитает работать с процентными изменениями цен, а не с абсолютными значениями. Однако в этом случае коэффициенты минимальной дисперсии должны рассчитываться не по формуле (1.16), а по формулам (П. 10) и (П.11). Данные формулы представлены в приложении 1 к настоящей главе.

1.1.