Доказательство того, что s2 — несмещенная оценка теоретической дисперсии
В табл. 0.5 указано, что несмещенная оценка а2 рассчитывается по формуле S2, где
S2 =^-уХ(х,-х)2.
Приступим к доказательству, переписав (х, _ х)2 в более сложном, но полезном виде:
(хі - х)2 = {(х, - р) - (х - /і)}2 = (х,- - р)2 - 2(Х|* - рЦх - р) + (х - р)2
(при раскрытии скобок р сократятся).
Следовательно,X (х,- - х)2 = X (х, - р)2 - 2(х - р)Х (X/ - р) + л(х - р)2.
Первое слагаемое здесь есть сумма первых слагаемых предыдущего уравнения, записанная с использованием знака I. Аналогично второе слагаемое здесь есть сумма вторых слагаемых предыдущего уравнения, вновь с использованием знака ? и того факта, что (х - р)2 — общий множитель. Перейдя к суммированию третьих членов предыдущего уравнения, отметим, что все они равны (*-р)2 и поэтому нет необходимости использовать знак ?.
Вторая составляющая может быть переписана как -2л(х-р)2, поскольку
Х(х,- -р) = Хх,- -лр = лх-лр = л(х -р),
и мы получаем:
X(х, - х)2 = X (х,- - р)2 - 2л(х -р)2 + л(х -р)2 = X(х,- - р)2 - л(х - р)2.
Беря в этом уравнении математические ожидания, имеем:
?{Х(*# - х)2} = ?{Х (х, - р)2} - пЕ{(х - р)2}=
= ?{(х, - р)2} +... + Е(хп - р)2} - пЕ((х - р)2 =
= л pop. var(x) - л pop. var(x) =
= ло2 - л(о2 / л) = (л - 1)а2,
используя тот факт, что теоретическая дисперсия х равна а2/п. Это доказывается в разделе 1.7. Следовательно,
?(*2) = ?{-—-?(*/-^)2}=ст2 и поэтому s2 — несмещенная оценка с2.
1