Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной переменной
Определение математического ожидания непрерывной случайной переменной очень похоже на соответствующее определение дискретной случайной величины:
Е{х) = \\yf(x)dx,
где интегрирование производится на всем интервале, где определена функция fix).
В обоих случаях разные возможные значениях взвешиваются по соответствующим им вероятностям. Для дискретной случайной величины суммирование осуществляется на основе последовательного перебора возможных значений х. В непрерывном случае это, конечно, производится на непрерывной основе, суммирование заменяется интегрированием, и значения вероятностей pt заменяются значениями функции плотности вероятности f{x). Принцип, однако, сохраняется тот же.
| Дискретная | Непрерывная |
| ? (X) = Хх р. | ? (х) = jxf (х) dx |
| Суммирование по всем | Интегрирование в области |
| возможным значениям | определения f(x) |
В разделе, посвященном дискретным случайным величинам, показано, как рассчитать математическое ожидание функции g (х) — функции случайной величины х. Берется список всех разных значений, которые может принимать g(x), каждое взвешивается по соответствующей ему вероятности, и произведения суммируются.
Процедура для непрерывной случайной величины точно такая же, с той лишь разницей, что теперь она осуществляется на непрерывной основе, что означает суммирование путем интегрирования вместо I-суммирования. Для дискретной случайной величины ?{g(x)} = \'Lg(x)pj, где суммирование производится по всем возможным значениям х. В непрерывном случае оно определяется как
E{g(x)}=jg(x)f(x)dx.
где интегрирование производится по всей области определения /(х).
Что касается дискретных случайных переменных, то здесь есть одна функция, которая особенно нас интересует, — теоретическая дисперсия. В обзоре она была определена как математическое ожидание (х — ц)2, где ц — теоретическое среднее (то же самое, что Е (х)). Чтобы рассчитать дисперсию, нужно просуммировать значения (х — ц)2, взвешенные по соответствующим вероятностям, по всем возможным значениям х. Применительно к непрерывной случайной переменной это означает, что нужно вычислить о2 — теоретическую дисперсию х:
о2 = ?{(х-ц)2} =j(x-\\i)2f(x)dx.
В познавательных целях было бы полезным сравнить это равенство с уравнением (0.9), где дано аналогичное выражение для дискретной случайной переменной (переверните несколько страниц назад и проверьте).
Как и ранее, при расчете теоретической дисперсии вы можете вычислить теоретическое стандартное отклонение (о) путем простого извлечения из нее квадратного корня.
Приложение 0.3