Обозначения с использованием знака ?: обзор
Обозначения с использованием знака ? дают возможность быстрой и удобной записи ряда из подобных членов. Для чтения данной книги необходимо знакомство с такой записью, и здесь дается краткий обзор для тех, кому нужно освежить это в памяти.
Начнем с примера. Предположим, что объем выпуска лесопилки, измеренный в тоннах, за месяц і составляет др причем qx — общий выпуск в январе, q2 — общий выпуск в феврале и т. д. Обозначим годовой выпуск какХ Тогда
Z = д і +q2 +0з +94 +05 +?б +07 +08 +99 + 01О +011 + 012-
Можно «просуммировать» это выражение на словах, сказав, что Z есть сумма величин (от qx до ql2). Очевидно, при определении Z нет необходимости записывать все 12 слагаемых. Иногда мы будем упрощать запись, представляя сумму в таком виде:
Z = qx + ... + qX2,
имея в виду, что все пропущенные члены включаются в суммирование.
Запись с использованием знака ? позволяет выразить эту сумму в удобной, аккуратной форме:
12
Выражение справа от знака ? говорит о том, какого вида члены суммируются, в данном случае это члены вида q,. Под знаком ? записывается индекс, который меняется при суммировании (в данном случае і), и его начальное значение (в данном случае 1). Таким образом, мы знаем, что первым слагаемым является qx. Знак равенства указывает, что индекс і для первого слагаемого должен равняться единице.
Над знаком ? записывается последнее значение і (в данном случае 12), и, таким образом, мы знаем, что последним слагаемым является ql2. Автоматически ясно, что все промежуточные члены между и qX2 также должны быть включены в суммирование, и мы получаем удобно переписанное второе определение Z.
Предположим, что средняя цена за тонну продукции лесопилки за месяц і равнарг Общая стоимость выпуска за месяц / равнаptqp а стоимость выпуска за год составляет V, где V рассчитывается по формуле:
Е = рхдх +...
+ /gt;12012-Теперь мы суммируем члены вида p,qp где нижний индекс і меняется от 1 до 12, и при использовании знака ? это выражение может быть записано таким образом:
Если с, — общие издержки работы лесопилки за месяц /, то прибыль за месяц / будет равна (p,q,~ с) и, следовательно, общая прибыль за год (П) записывается как
П = (ш ~ с\\)+¦ ¦ • ¦+ (Д2?12 ~ с12), что можно обобщить в виде:
12
П = 1(М\' - С/).
1=1
Заметим, что выражение для прибыли можно также переписать как разность общего дохода и общих издержек:
П = (М1 +¦¦•+ Р\\2Ч\\2)-(С\\ +--- + С12),
и с использованием знака ? это выражение обобщается в виде:
12 12
п=Х ріЧі -Xе/- 1=1 /=1
Если цена продукции в течение года постоянна и равна р, то выражение для стоимости годового выпуска можно упростить:
12
V = Р4х +...+ РЧ12 =Р(Ч\\ +"+Чп)= р?,Ъ-
1=1
Следовательно,
12 12
Хм, = Р%Чі- 1=1 1=1
Если выпуск в каждом месяце постоянен и равен q, то выражение для годового выпуска также можно упростить:
Z = ql+... + ql 2 =q +...+ q = l2q.
Следовательно, в этом случае
12
Х«/ = 12«-
1=1
Мы проиллюстрировали три правила, которые могут быть записаны формально.
Правило суммирования 1 (проиллюстрировано разложением прибыли на общий доход минус общие издержки):
Хlt;*/+и)=Х*/+Хи-
/=1 (=1 /=1
Правило суммирования 2 (проиллюстрировано выражением V в случае постоянной цены):
Л Л
X®f, =аХ*/gt;
/=1 i=l
если а постоянно.
Правило суммирования 3 (проиллюстрировано выражением Z в случае постоянного объема выпуска):
П
Ха=лаgt;
/=1
если а постоянно.
Часто из контекста ясно, каковы начальный и конечный суммируемые члены. В этом случае выражение
П
S*/
/=1
часто упрощается до Zx(. Далее, часто столь же очевидно, какой индекс меняется при суммировании, и все выражение упрощается до 1х.
Иногда приходится выполнять суммирование внутри другого суммирования, что требует дальнейших пояснений. В принципе это нетрудно, но поскольку такие операции не выполняются в данной книге, мы не будем их рассматривать.
Приложение 0.2