Полезное правило
Иногда оценка рассчитывается как отношение двух величин, имеющих случайные составляющие, например:
Z = X/Y, (0.35)
где X и Y— величины, рассчитанные по данным выборки.
Обычно трудно сказать что-либо определенное о математическом ожидании величины Z Вообще говоря, она не равна частному от деления Е (X) на Е (Y). Если Yс некоторой вероятностью может равняться нулю, то математическое ожидание Z не может быть даже определено. Если, однако, X и Yстремятся к конечным величинам plim X и plim Y на больших выборках и plim Y не равен нулю, величина Zбудет стремиться к отношению plim Л/plim Y. Следовательно, даже если нельзя
сказать что-либо определенное о свойствах Z на малых выборках, мы иногда
можем судить о ее состоятельности.
Предположим, например, что теоретические средние двух случайных переменных Xи Zравны цх и соответственно и что обе они подвержены случай
ным воздействиям, так что
Х = Рх+ихgt; (0.36)
Y = \\ly+uy, (0.37)
где их и uY — случайные составляющие с нулевым средним. Если мы по выборочным данным хотим оценить отношение \\ix/\\iY, то оценка Z = X / Y будет состоятельной, поскольку
plimZ = plimA1 / рІітУ = цх /цу, (0.38)
и можно сказать, что Z является хорошей оценкой для больших выборок, хотя, возможно, для малых выборок о E(Z) нельзя сказать ничего.
Упражнения
0.14. Является ли несмещенность необходимым или достаточным условием состоятельности ?
0.15. Случайная величина Xпринимает значения 3 и 4 с равными вероятностями. Случайная величина ^принимает значения 1 и 2 также с равными вероятностями. Величины X и Yраспределены независимо друг от друга. Переменная Z определяется как Z= Х/Y и имеет четыре возможных значения, каждое с вероятностью 0,25:
Таблица значений Z при данных значениях X и Y
| X | 3 | 4 |
| Y | ||
| 1 | 3,0 | 4,0 |
| 2 | 1,5 | 2,0 |
Покажите, что Z(Z) не равно E(X)/E(Y).
- 16. Величины X и Y являются выборочными средними X и Y, определенных как в предыдущем упражнении. Величина Z— оценка отношения теоретических средних и определяется как X / Y. К какому значению будет стремиться Z на большой выборке?
- 17. Выполните предыдущие два упражнения, предположив, что Y может принимать значения 0 и 1 с равными вероятностями.