Выборочная дисперсия

До сих пор термин «дисперсия» использовался в смысле теоретической дисперсии (т. е. относящейся ко всей генеральной совокупности), как это и определялось в обзоре.

Var(x) = ** X (х/ - х)2-              (1-14)

Сделаем следующие три замечания:

1. Определенная таким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии. В приложении 0.3 показано, что s2, определенная как

—2(*,-їЛ

Я-1

является несмещенной оценкой а2. Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(л — 1)/и]а2 и что, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки п становится большим, то (и — 1)/и стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var (х) стремится к а2. Можно легко показать, что ее предел по вероятности (plim) равен а2 и, следовательно, она явЛяется примером состоятельной оценки, которая смещена для небольших выборок.

2. Так как величина 52 является несмещенной, то в некоторых работах ее часто определяют как выборочную дисперсию и либо избегают ссылок на Var (х), либо дают ей какое-то другое название. К сожалению, общепринятой договоренности по этому поводу до сих пор нет[IV]. В каждой работе вам следует проверять определение.
3. Поскольку указанная договоренность отсутствует, отсутствует и договоренность относительно условного обозначения данного понятия, и для этого используются самые различные символы. В данной работе теоретическая (или генеральная) дисперсия переменной х обозначается как pop. var (х) или, если это удобно, а2. Если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен. Выборочная дисперсия всегда будет обозначаться как Var (х) с прописной буквы V.

Почему выборочная дисперсия в среднем занижает значение теоретической дисперсии? Причина заключается в том, что она вычисляется как среднеквадратичное отклонение от выборочного среднего, а не от истинного значения. Так как выборочное среднее автоматически находится в центре выборки, то отклонения от него в среднем меньше отклонений от теоретического среднего значения.