Теоретическая ковариация

Если х и у — случайные величины, то теоретическая ковариация о^ определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений:

pop.cov(x,y) = oXJ, = ?{(х-цЛ.)(у-ц,)},              (1.11)

где              и              —              теоретические средние значения х и у соответственно.

¦              Как вы и              ожидаете, если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее

оценки может быть использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению, оценка будет иметь отрицательное смещение, так как

?{Cov(x,y)}^—Lpop.cov(x,y).              (1.12)

n

Причина заключается в том, что выборочные отклонения измеряются по отношению к выборочным средним значениям величин х и у и имеют тенденцию к занижению отклонений от истинных средних значений. Очевидно, мы можем рассчитать несмещенную оценку путем умножения выборочной оценки на п/(п — 1). Доказательство соотношения (1.12) здесь не представлено, но

вы можете сами провести его, используя в качестве руководства приложение

0. 3 (предварительно ознакомьтесь с содержанием раздела 1.5). Правила для теоретической ковариации точно такие же, как и для выборочной ковариации, но их доказательства мы опускаем, поскольку для этого требуется интегральное исчисление.

Если х и у независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку

?{(х-рх)(у-^)} = ?(х-рх)(у-^) = ОхО,              (1.13)

благодаря свойству независимости, отмеченному в обзоре, и факту, что Е (х) и

Е(у) равняются соответственно и и и.

^ /