Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной
В этой книге нас будет интересовать одна из функций переменной х, ее теоретическая дисперсия, являющаяся полезной мерой разброса для вероятност- ного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной х и ее средним, т.
е. величины (х — р)2, где р — математическое ожидание х. Дисперсия обычно обозначается как а2, и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен. Мы иногда будем обозначать дисперсию как pop. var (х):о2х = pop.var(x) = ?{(х - р)2} =
П
= X (*/• - V)2Pi = (*i - и)2 Pi + • • • ¦+ (*„ - ц)2 Рп- (0.9)
i=l
Из а2 можно получить ах — теоретическое стандартное отклонение — столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; стандартное отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.
Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку р = Е(х) = 3,5, то (х — р)2 в этом случае равно (х — 3,5)2. Мы рассчитаем математическое ожидание величины (х—3,5)2, используя схему, представленную в табл. 0.2. Дополнительный столбец (х — р) представляет определенный этап расчета (х — р)2. Суммируя последний столбец в табл. 0.4, получим значение дисперсии а2, равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение (а), равно yj2,92, то есть 1,71.
| Таблица 0.4 | ||||
| х, | Р, | (*,- аlt;) | (¦*¦,-А*)2 | (х- и)2Р, |
| 1 | 1/6 | -2,5 | 6,25 | 1,042 |
| 2 | 1/6 | -1,5 | 2,25 | 0,375 |
| 3 | 1/6 | -0,5 | 0,25 | 0,042 |
| 4 | 1/6 | 0,5 | 0,25 | 0,042 |
| 5 | 1/6 | 1,5 | 2,25 | 0,375 |
| 6 | 1/6 | 2,5 | 6,25 | 1,042 |
| Всего | 2,92 | |||
Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как
о2= Е (х2) - р2. (0.10)
Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение. Доказательство дает хороший пример использования упомянутых правил, но при первом чтении вы можете, если хотите, его пропустить.
По этому определению,о2 = Е {(JC - ц)2} = Е {(х2 -2 цх + ц2) =
= Е (х2) + Е (~2цх) + Е (д2), согласно правилу I,
= Е (х2) — 2цЕ (х) + д2, согласно правилам 2 и 3
и тому факту, что —2ц и ц2 — константы,
= Е (х2) — 2ц2 + ц2, поскольку величины Е (х)
и ц идентичны,
= Е (х2) — ц2. (0.11)
Таким образом, если вы хотите вычислить теоретическую дисперсию для х, то можете рассчитать математическое ожидание величины х2 и вычесть из него р2.
Упражнение
0.6. Рассчитайте теоретическую дисперсию и стандартное отклонение величины х, определенной, как в упражнении 0.1, использовав определение, заданное уравнением (0.9).
0.7. Использовав уравнение (0.10), найдите дисперсию случайной переменной х, определенной в упражнении 0.1, и покажите, что результат получается тем же, что и в упражнении 0.6. (Это займет совсем немного времени, потому что вы уже рассчитали р в упражнении 0.2 и Е{х2) в упражнении 0.4.)