Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной


В этой книге нас будет интересовать одна из функций переменной х, ее теоретическая дисперсия, являющаяся полезной мерой разброса для вероятност- ного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной х и ее средним, т.
е. величины (х — р)2, где р — математическое ожидание х. Дисперсия обычно обозначается как а2, и если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен. Мы иногда будем обозначать дисперсию как pop. var (х):
о2х = pop.var(x) = ?{(х - р)2} =
П
= X (*/• - V)2Pi = (*i - и)2 Pi + • • • ¦+ (*„ - ц)2 Рп-              (0.9)
i=l
Из а2 можно получить ах — теоретическое стандартное отклонение — столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; стандартное отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.
Мы проиллюстрируем расчет дисперсии на примере с одной игральной костью. Поскольку р = Е(х) = 3,5, то (х — р)2 в этом случае равно (х — 3,5)2. Мы рассчитаем математическое ожидание величины (х—3,5)2, используя схему, представленную в табл. 0.2. Дополнительный столбец (х — р) представляет определенный этап расчета (х — р)2. Суммируя последний столбец в табл. 0.4, получим значение дисперсии а2, равное 2,92. Следовательно, стандартное отклонение (а), равно yj2,92, то есть 1,71.

Таблица 0.4
х, Р, (*,- аlt;) (¦*¦,-А*)2 (х- и)2Р,
1 1/6 -2,5 6,25 1,042
2 1/6 -1,5 2,25 0,375
3 1/6 -0,5 0,25 0,042
4 1/6 0,5 0,25 0,042
5 1/6 1,5 2,25 0,375
6 1/6 2,5 6,25 1,042
Всего 2,92

Одним из важных приложений правил расчета математического ожидания является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной, которая может быть записана как
о2= Е (х2) - р2.              (0.10)
Это выражение иногда оказывается более удобным, чем первоначальное определение.
Доказательство дает хороший пример использования упомянутых правил, но при первом чтении вы можете, если хотите, его пропустить. По этому определению,
о2 = Е {(JC - ц)2} = Е {(х2 -2 цх + ц2) =
= Е (х2) + Е (~2цх) + Е (д2), согласно правилу I,
= Е (х2) — 2цЕ (х) + д2, согласно правилам 2 и 3
и тому факту, что —2ц и ц2 — константы,
= Е (х2) — 2ц2 + ц2,              поскольку величины Е (х)
и ц идентичны,
= Е (х2) — ц2.              (0.11)
Таким образом, если вы хотите вычислить теоретическую дисперсию для х, то можете рассчитать математическое ожидание величины х2 и вычесть из него р2.
Упражнение
0.6. Рассчитайте теоретическую дисперсию и стандартное отклонение величины х, определенной, как в упражнении 0.1, использовав определение, заданное уравнением (0.9).
0.7. Использовав уравнение (0.10), найдите дисперсию случайной переменной х, определенной в упражнении 0.1, и покажите, что результат получается тем же, что и в упражнении 0.6. (Это займет совсем немного времени, потому что вы уже рассчитали р в упражнении 0.2 и Е{х2) в упражнении 0.4.)
<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной:

  1. Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной
  2. Вероятность в непрерывном случае
  3. Способы оценивания и оценки
  4. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной переменной
  5. Модель Блэка-Шоулза
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -