Вероятность в непрерывном случае

С дискретными случайными переменными очень легко обращаться, поскольку они по определению принимают значения из некоторого конечного набора. Каждое из этих значений связано с определенной вероятностью, характеризующей его «вес».

Вы можете представить указанные «веса» как определенные количества «пластичной массы», равные вероятностям соответствующих значений. Сумма вероятностей и, следовательно, суммарный «вес» этой «массы» равен единице. Это показано на рис. 0.2 для примера, где величинах есть сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей. Величина х принимает значения от 2 до 12, и для всех этих значений показано количество соответствующей «массы».

К сожалению, анализ в нашей книге проводится обычно для непрерывных случайных величин, которые могут принимать бесконечное число значений. Поскольку невозможно представить себе «пластичную массу», разделенную на бесконечное число частей, используем далее другой подход.

Проиллюстрируем наши рассуждения на примере температуры в комнате. Для определенности предположим, что она меняется в пределах от 55 до 75° по Фаренгейту, и вначале допустим, что все значения в этом диапазоне равновероятны.

Величины

вероятности

зе

А_

36

і

Т

(0.12)

ставленной заштрихованной фигурой на рис. 0.4. Основание заштрихованного прямоугольника равно 5, его высота равна 0,05 и, соответственно, площадь — 0,25. Искомая вероятность равна ‘/4, что в любом случае очевидно, поскольку промежуток от 65 до 70°F составляет 1/4 всего диапазона.

(0.13)

Высота заштрихованной плоціади представляет то, что формально называется плотностью вероятности в этой точке, и если эта высота может быть записана как функция значений случайной переменной, то эта функция называется функцией плотности вероятности.

/ (х) = 0,05;              55SXS75

[/¦(*) = 0 для х lt; 55 или х gt; 75].

В качестве первого приближения функция плотности вероятности показывает вероятность нахождения случайной переменной внутри единичного интервала вокруг данной точки. В нашем примере эта функция всюду равна 0,05, откуда вытекает, что температура находится, например, между 60 и 61°F с вероятностью 0,05.

В нашем случае график функции плотности вероятности горизонтален, и ее указанная интерпретация точна, однако в общем случае эта функция непрерывно меняется, и ее интерпретация дает лишь приближение. Далее мы рассмотрим пример, когда эта функция непостоянна, поскольку не все температуры равновероятны. Предположим, что центральное отопление работает таким образом, что температура никогда не падает ниже 65*F, а в жаркие дни температура превосходит этот уровень, не превышая, как и ранее, 75°F. Мы будем считать, что плотность вероятности максимальна при температуре 65°F и далее она равномерно убывает до нуля при 75°F.

Общая «замазанная» площадь, как всегда, равна единице, поскольку совокупная вероятность равна единице. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому получаем:

(0.14)

$ х Ю х Высота = 1,

и высота при 65\'F равна 0,20.

Предположим вновь, что мы хотим знать вероятность нахождения температуры в промежутке между 65 и 70*F. Она представлена заштрихованной площадью на рис. 0.6, и если вы немного помните геометрию, то сможете проверить, что она равна 0,75. Если вы предпочитаете процентное измерение, то

Высота (плотность вероятности)

0.05

Ш.

55 60 65 70 75 Температура, F Рис. 0.4

это означает, что с вероятностью 75% температура попадет в диапазон 65— 70*F и только с вероятностью 25% — в диапазон 70—75°F.

65              70              75              Температура,              F

Рис.

Плотность

вероятности

В данном случае функция плотности вероятности записывается как/(х), где

/(х) = 1,5 - 0,02х;              65 ?х? 75.              (0.15)

(Вы можете проверить, что эта функция равна 0,20 при 65°F и нулю при 75°F.)

Прежде чем продолжить изложение, упомянем о хорошей и плохой новостях. «Плохая новость» — это то, что если вы хотите рассчитать вероятности для более сложных функций с криволинейными графиками, то элементарная геометрия становится неприменимой. Вообще говоря, вы должны воспользоваться интегральным исчислением или специальными таблицами (если последние существуют). Интеїральное исчисление используется также и при определении математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

«Хорошая новость» — в том, что специальные таблицы существуют для всех функций, которые будут интересовать нас на практике. Кроме того, математическое ожидание и дисперсия имеют практически тот же смысл для непрерывных случайных величин, что и для дискретных (формальные определения можно найти в приложении 0.2), и для них верны те же самые правила.

Плотность

вероятности