Нормальные вероятности

мы займемся N(2), интегралом N\'(2), чтобы найти площадь под кривой (т.е. вероятности) .

(3.21) N(2) = 1 - N\'(2) * ((1,330274429 *УЛ 5) - (1,821255978 * УА 4) + + (1,781477937 * У А 3) - (0,356563782 * У л 2) + + (0,31938153 * У)) Если Ъ < 0, то N(2) = 1 - N(2)

(3.15а) N\'(2) = 0,398942 * ЕХР(-{I Л 2/2)), где У=1/(1+2316419*ЛВ8(2)) и ЛВБО = функция абсолютного значения; ЕХР() = экспоненциальная функция.

При расчете вероятности мы всегда будем преобразовывать данные в стандартные единицы. То есть вместо функции ^Х) мы будем использовать функцию N(2), где:

(3.16) 2=(Х-И)/Б, где и = среднее значение данных; Б = стандартное отклонение данных; Х = наблюдаемая точка данных.

Теперь обратимся к уравнению (3.21). Допустим, нам надо знать, какова вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы (2 = +2). У= 1/(1 +2316419*ЛВБ(+2)) =1/1,4632838 =0,68339443311

(3.15а) N\'(2) = 0,398942 * ЕХР(-(+2л2/2)) = 0,398942 *ЕХР (-2)=0,398942*0,1353353=0,05399093525

Заметьте, мы можем найти высоту кривой при +2 стандартных единицах. Подставляя полученные значения вместо У и N\'(2) в уравнение (3.21), мы можем получить вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы:

N(2) = 1 - N\'(2) * ((1,330274429 * ул 5) -

(1,821255978 * ул4) + (1,781477937 * ул 3) -

(0,356563782 * У л 2) + (0,31938153 * У))

= 1-0,05399093525* ((1,330274429* 0,6833944331^5)-

(1,821255978 * 0,68339443311 л 4 + 1,781477937 * 0,68339443311л 3) - - (0,356563782 * 0,68339443311 л2) + 0,31938153 * 0,68339443311))

= 1 - 0,05399093525 * (1,330274429 * 0,1490587) -

(1,821255978 * 0,2181151 + (1,781477937 * 0,3191643)- (0,356563782 * 0,467028 + 0,31938153 - 0,68339443311))

1- 0,05399093525 * (0,198288977 - 0,3972434298 + 0,5685841587 -

-0,16652527+0,2182635596) = 1 - 0,05399093525 * 0,4213679955 = 1 - 0,02275005216= 0,9772499478 \r\n

Таким образом, можно ожидать, что 97,72% результатов в нормально распределенном случайном процессе не попадают за +2 стандартные единицы.

Чтобы узнать, какова вероятность события, равного или превышающего заданное число стандартных единиц (в нашем случае +2), надо просто изменить уравнение (3.21) и не использовать условие «Если Z < 0, то N2) = 1 - N2)». Поэтому вторая с конца строка в последнем расчете изменится с

= 1 - 0,02275005216 на 0,02275005216

і

0,9

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

і

0,9

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3-9.

щгуищг)\r\n \r\n \r\n \r\n \r\n N(2) * \r\n \r\n \r\n N•(2) ^ \r\n \r\n "Тії і 1 1 1\r\n-3

-2

Рисунок 3-8 Уравнение (3.21) для вероятности Z=+2

ічда и щг)\r\n \r\n \r\n \r\n \r\n N(2) * «Еслиг<0, — тп N<71 = 1 - Ш7.Ї»\r\n \r\n \r\n —^ \r\n \r\n ТіТі і і і і і її і і і > і і і і і І І 1 1 І І 1 1 і \r\n-2

-1

-3

0 ъ

Рисунок 3-9 Устранение оговорки «Если 2 < 0, то N(2) = 1 - N(2)» в уравнении (3.21)

До сих пор мы рассматривали площади под кривой 1-хвостых распределений вероятности. То есть до настоящего момента мы отвечали на вопрос: «Какова вероятность события, которое меньше (больше) заданного количества стандартных единиц от среднего?» Предположим, теперь нам надо ответить на такой вопрос: \r\n«Какова вероятность события, которое находится в интервале между определенным количеством стандартных единиц от среднего?» Другими словами, мы хотим знать, как подсчитать 2-хвостые вероятности. Посмотрим на рисунок 310. Он представляет вероятности события в интервале двух стандартных единиц от среднего. В отличие от рисунка 3-8 этот расчет вероятности не включает крайнюю область левого хвоста, область меньше -2 стандартных единиц. Для расчета вероятности нахождения в диапазоне Z стандартных единиц от среднего вы должны сначала рассчитать 1-хвостую вероятность абсолютного значения Z с помощью уравнения (3.21), а затем полученное значение подставить в уравнение (3.22), которое дает 2-хвостые вероятности (то есть вероятности нахождения в диапазоне ABS(Z) стандартных единиц от среднего):

(3.22) 2-хвостая вероятность =1-((1- ^А^^))) * 2)

Если мы рассматриваем вероятности наступления события в диапазоне 2 стандартных отклонений ^ = 2), то из уравнения (3.21) найдем, что N(2) = 0,9772499478 и можно использовать полученное значение для уравнения (3.22): 2-хвостая вероятность =1-((1- 0,9772499478) * 2) =1-(0,02275005216*2) = 1 -

0,04550010432 = 0,9544998957

Таким образом, из этого уравнения следует, что при нормально распределенном случайном процессе вероятность события, попадающего в интервал 2 стандартных единиц от среднего, составляет примерно 95,45%.

Как и в случае с уравнением (3.21), можно убрать первую единицу в уравнении (3.22), чтобы получить (1 - N(ABS(Z))) * 2, что представляет вероятности события вне ABS(Z) стандартных единиц от среднего. Это отображено на рисунке 3-11. Для нашего примера, где Z = 2, вероятность события при нормально распределенном случайном процессе вне 2 стандартных единиц составляет:

2-хвостая вероятность (вне) = (1 - 0,9772499478) * 2 =0,02275005216*2

=0,04550010432

Наконец, мы рассмотрим случай, когда надо найти вероятности (площадь под кривой N\'(2)) для двух различных значений Ъ.

N*<в ча-к«».«

0,5

<-Х->

Рисунок 3-10 2-хвостая вероятность события между +2 и -2 сигма

Рисунок 3-11 2-хвостая вероятность события, находящегося вне 2 сигма

0,9772499478 - 0,1586552595 = 0,8185946883

Рисунок 3-12 Площадь между -1 и +2 стандартными единицами

Другой способ: из единицы, представляющей всю площадь под кривой, надо вы-честь вероятность, не превышающую -1 стандартную единицу, и вероятность, превышающую 2 стандартные единицы:

= 1 - (0,022750052 + 0,1586552595) = 1 -0,1814053117 =0,8185946883

С помощью рассмотренных в этой главе математических подходов вы сможете рассчитывать любые вероятности событий для случайных процессов, имеющих нормальное распределение.