Вычисление предельных вероятностей процесса размножения и гибели

Хохлова А.Е. студентка 2 курса экономического факультета Научный руководитель: Торсунова Э.Р., канд. пед. наук.,

зав. каф. прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Пермский институт экономики и финансов (г.

Процесс размножения и гибели – это случайный процесс со счётным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном или непрерывном вре- мени. Он состоит в том, что некоторая система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, причём переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе – гибелью этого объек- та.

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в ис- следовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, мар- ковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы размножения и гибели находят широкое применение в объяснении различных процессов, происходящих в физике, биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности при моделировании гибели и размножения особей различных популяций.

Перейдем к формальному описанию процесса размножения и гибели в непрерывном времени. Будем полагать, что в каждый момент времени может произойти рождение или гибель только одного объекта. Число объектов в системе может быть конечным или бесконечным. Математическая модель не зависит от природы объектов и их физических свойств.

Процесс размножения и гибели описывается графом состояний, приведенным на рис.

l1

S0 S1

m1

l2 l3

S2

m2 m3

lk lk +1 ln

Sk Sn

mk mk+1 mn

Рисунок 1 – Граф состояний процесса размножения и гибели

Каждое состояние Si системы характеризуется предельной вероятностью Pi. Она пока- зывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии [1].

Вычислить предельные вероятности состояний системы можно по следующим фор- мулам:

l1

1

+ l2 ? l1

m2 ? m1

+ ... +

l n ?... ? l2 ? l1

mn ? ... ? m2 ? m1

)-1

(1)

l1 l2 ? l1

= ln ? ... ? l2 ? l1

(2)

1

P0 ,

P2 =

? m1

P0 , …, Pn

m n ? ... ? m 2

P0

? m1

С помощью математических моделей такого процесса находят характеристики, которые позволяют производить его анализ, сравнивать между собой различные процессы, выбирать и конструировать лучшие варианты и даже управлять такими процессами [2].

Рассмотрим возможности решения экономической задачи, математическая модель ко- торой основана на процессе размножения и гибели, в среде Excel.

В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается, и ре- монт длится в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени i автомобилей исправны (i=0, 1, 2, 3, 4, 5) и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент време- ни.

Решение задачи:

Введем следующие состояния: S0 – все автомобили сломаны; S1 – один исправен; S2 –

2 исправны; S3 – 3 исправны; S4 – 4 исправны; S5 – все автомобили исправны. Построим

граф состояний (рисунок 2).

S0 S1 60

36

S2 S3

24 12

S4 S5

4 8 12

Рисунок 2 – Граф состояний

а) Создадим экранную форму для ввода условия задачи и введем данные в экранную форму (рисунок 3).

Рисунок 3 – Создание экранной формы

б) Выделим строку 8 для промежуточных вычислений (для расчета суммы в знамена-

1

теле по формуле для нахождения вероятности P0 =

l l ? l

l ?...? l ? l .

1+ 1 + 2 1 + ... + n 2 1

- ввести в A8 цифру 1;

- ввести в B8 формулу: =A8*B2/B3;

m1 m 2 ? m1

m n ? ...? m 2 ? m1

- заполнить ячейки B8:F8 с помощью функции автозаполнения. в) Найдем вероятности состояний:

- для расчета вероятности P0 введем в ячейку B6 формулу: =1/СУММ(A8:F8);

- для расчета других вероятностей вводим в C6 формулу =B6*B2/B3 и автозаполняем

результат на ячейки C6:G6.

г) Найдем среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени. Для этого введем в ячейку В10 формулу: =0*B6+1*C6+2*D6+3*E6+4*F6+5*G6. Результат решения задачи представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 – Решение задачи

Нами рассмотрена сущность и математическая модель процесса размножения и гибе- ли. При более широкой постановке задачи на события «рождение» и «гибель» объекта мо- гут накладываться другие события и процессы. В результате граф состояний усложняется, например, он может иметь ветвящуюся структуру, где расширены возможности переходов между состояниями.

Список использованных источников

1. Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е.С.

Вентцель. – М.: Наука, 1988. – 208 с.

2. Зеленцов, Б.П. Математические модели на основе процесса размножения и гибели объектов / Б.П. Зеленцов. // Соросовский образовательный журнал. – 2001. – № 6. – С. 92 –

97.