Вычисление финальных вероятностей состояний системы с марковским случайным процессом средствами MS Excel

Попова А.А. студентка 2 курса экономического факультета Научный руководитель: Торсунова Э.Р., канд. пед. наук,

зав. каф. прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Пермский институт экономики и финансов (г.

Случайные процессы находят широкое применение при изучении сложных стохасти- ческих систем как адекватные математические модели процесса функционирования таких систем.

Выделяют следующие этапы разработки марковской модели системы с дискретными состояниями [1]:

- кодирование состояний случайного процесса;

- построение размеченного графа переходов;

- формирование матрицы интенсивностей переходов;

- составление системы линейных алгебраических уравнений для определения финаль- ных вероятностей состояний системы.

Рассмотрим реализацию этапов на конкретном примере.

Центральный пульт управления лаборатории обрабатывает поступающие запросы с помощью ПК. Периодически, в среднем 5 раз в месяц ПК проходит тестирование, которое продолжается в среднем 1 день. В результате такого тестирования в среднем в двух случа- ях из пяти обнаруживаются проблемы, которые требуют перенастройки ПК, которая длит- ся в среднем 1 день. Кроме того, в среднем два раза в месяц ПК производит сбой и требу- ется перенастройка. После перенастройки в 50% случаев требуется ремонт, который длит- ся в среднем 3 дня. Необходимо определить сколько в среднем дней в месяц ПК работает, тестируется, перенастраивается и ремонтируется. Сколько нужно времени в среднем тра- тить на ремонт, чтобы ПК в рабочем состоянии в среднем находился 70% времени?

Решение задачи:

1. Введем состояния: S1 – ПК работает, S2 – ПК тестируется, S3 – ПК перенастраива- ется, S4 – ПК в ремонте. Построим граф состояний (рисунок 1).

Для этого находим интенсивности переходных вероятностей. Возьмем за единицу времени один месяц. Тогда тестирование проводится по условию задачи 5 раз в месяц, по- этому указываем над стрелкой между 1-м и 2-м состоянием интенсивность 5.

этой причине ставим над стрелкой 2→3 интенсивность 12, а над стрелкой 2→1 интенсив- ность 18. Перенастройка длится также 1 день, т.е. 30 раз в месяц, в половине случаев про- исходит выход в рабочее состояние, в половине – ремонт. Поэтому над 3→1 и 3→4 ставим по 15. Ремонт длится 3 дня, это 10 раз в месяц, над 4→1 ставим 10.

5

S1 S2

18

15 12

2 10

S3 15 S4

S1

Рисунок 1 – Граф состояний

2. Построим матрицу переходных интенсивностей, которая полностью описывает граф состояний. Если из состояния с номером i в состояние с номером j идет стрелка с ин-

тенсивностью

lij , то в i-й строке и j-м столбце будет стоять эта интенсивность

lij . Если

между состояниями перехода нет, то в соответствующей позиции матрицы стоит ноль. Для данной задачи матрица переходных интенсивностей имеет вид:

? 0

ç

ç18

ç15

è10

5 2

0 12

0 0

0 0

0 o

÷

0 ÷

15 ÷

÷

o

Рисунок 1 – Создание экранной формы

б) В транспонированную матрицу на место диагональных элементов введем сумму всех остальных элементов данного столбца со знаком «минус» (рисунок 2):

- ввести в A2 формулу: =-A3-A4-A5;

- ввести в B3 формулу: =-B2-B4-B5;

- ввести в C4 формулу: =-C2-C3-C5;

- ввести в D5 формулу: =-D2-D3-D4.

Рисунок 2 – Введение диагональных элементов

Полученная матрица будет вырожденной и для получения единственного решения си- стемы уравнений нужно одно любое уравнений заменить условием нормировки: P1+P2+…+Pn=1, которому будет соответствовать строка из единиц в расширенной матри- це. Введем во все ячейки диапазона A6:E6 числа «1».

Рисунок 3 – Введение условия нормировки

в) Найдем матрицу обратную для матрицы расположенной в ячейках A3:D6.

- выделить диапазон ячеек для размещения результата: G3:J6;

- выбрать функцию МОБР в категории Математические;

- ввести диапазон ячеек A3:D6;

- нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

г) Найдем результат решения задачи – вероятности состояний, матрица которых есть результат перемножения обратной матрицы и столбца свободных членов системы уравне- ний (рисунок 4).

- выделить диапазон ячеек для размещения результата умножения матриц: M3:M6;

- выбрать функцию МУМНОЖ в категории Математические;

- ввести диапазоны ячеек G3:J6 и E3:E6;

- нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Рисунок 4 – Нахождение вероятностей состояний

Умножив эти вероятности на 30 дней можно рассчитать, сколько дней в среднем в ме- сяц система находится в каждом состоянии: ПК работает 0,667·30 = 20 дней, ПК тестиру- ется 0,111·30 = 3,33 дня, ПК перенастраивается 0,089·30 = 2,67 дней, ПК в ремонте

0,133·30 = 4 дня.

д) Ответим на второй вопрос задачи: сколько нужно времени в среднем тратить на ремонт, чтобы ПК находился в рабочем состоянии в среднем 70% времени?

- поставить курсор в любой свободной ячейке;

- выбрать пункт меню «Данные», подменю «Подбор параметра»;

- в открывшемся окне «ПОДБОР ПАРАМЕТРА» в поле «УСТАНОВИТЬ В ЯЧЕЙКЕ» ввести $M$3, в поле "ЗНАЧЕНИЕ" – 0,7, в поле «ИЗМЕНЯЯ ЗНАЧЕНИЯ ЯЧЕЙКИ» – $D$2 (рисунок 5).

Рисунок 5 – Подбор параметра

Рисунок 6 – Результат подбора параметра

дня.

В D2 результат 15,46, что означает, что ремонт должен продолжаться 30/15,46 = 1,94

Использованные источники

Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е.С. Вент-

цель. – М.: Наука, 1988. – 208 с.