Постоянная и случайная составляющие случайной переменной
Часто вместо рассмотрения случайной величины как единого целого можно и удобно разбить ее на постоянную и чисто случайную составляющие, где постоянная составляющая всегда есть ее математическое ожидание.
Если х — случайная переменная и р — ее математическое ожидание, то декомпозиция случайной величины записывается следующим образом:х=р + ы, (0.16)
где и — чисто случайная составляющая (в регрессионном анализе она обычно представлена случайным членом).
Конечно, можно было бы посмотреть на это по-другому и сказать, что случайная составляющая и определяется как разность между х и р:
и = х-р. (0.17)
Из определения следует, что математическое ожидание величины и равно нулю. Из уравнения (0.17) имеем:
?(н) = ?(х-ц) = ?(х)-?(ц) =
= Е (х) — р = р - р = 0. (0.18)
Поскольку весь разброс значений х обусловлен и, неудивительно, что теоретическая дисперсия х равна теоретической дисперсии и. Последнее нетрудно доказать. По определению,
о2 = ?((х-р)2} = ?{н2} (0.19)
и
о2 = ? {(и - м.о.(и))2} = ?{(«- О)2} = ? {и’}. (0.20)
Таким образом, о2 может быть эквивалентно определена как дисперсия х или и.
Обобщая, можно утверждать, что если х — случайная переменная, определенная по формуле (0.16), где р — заданное число и и — случайный член с
Е (и) — 0 и pop. var (и) s® о2, то математическое ожидание величины х равно р,
а дисперсия — а2.