Правила расчета математического ожидания

Существуют три правила, которые далее будут использоваться много раз. Эти правила практически самоочевидны, и они одинаково применимы для дискретных и непрерывных случайных переменных.

Правило 1. Математическое ожидание суммы нескольких переменных равно сумме их математических ожиданий. Например, если имеются три случайные переменные (х, у и г), то

Правило 2. Если случайная переменная умножается на константу, то ее математическое ожидание умножается на ту же константу. Если х — случайная переменная и а — константа, то

Е(ах) = аЕ(х).              (0.5)

Правило 3. Математическое ожидание константы есть она сама. Например, если а — константа, то

Е(а) = а.              (0.6)

Правило 2 уже доказано в упражнении 0.3. Правило 3 тривиально, поскольку оно следует из определения константы. Хотя доказательство правила 1 довольно простое, мы его опустим.

Объединяя три правила вместе, можно упростить и более сложные выражения. Например, предположим, что вы хотите рассчитать Е(у), где

у = а + Ьх,              (0.7)

где а и b — константы. Следовательно,

Е(у) = Е(а + Ьх) =

= Е (а) + Е (Ьх), согласно правилу 1,

= а + ЬЕ (х), согласно правилам 2 и 3.              (0.8)

Таким образом, вместо непосредственного вычисления Е(у) можно рассчитать Е(х) и получить Е(у) из уравнения 0.8.

Упражнение

0.5. Пусть х — число очков, выпавшее при однократном бросании игральной кости.              Рассчитайте возможные значения              у, где              у получается по              формуле

у = х2 + Зх —              2,              и, далее, рассчитайте Е(у).              Покажите,              что              она равняется

Е(х2) + 3 Е(х) - 2.

Независимость случайных переменных

Две случайные переменные х и у называются независимыми, если E{f(x)g(y)\\ равняется E{f(x))E{g(y)} для любых функций /(х) и g(y). Из независимости следует как важный частный случай, что Е(ху) равно Е(х)Е(у).