Правила расчета дисперсии

Существует несколько простых и очень полезных правил для расчета дисперсии, являющихся аналогами правил для ковариации, рассмотренных в разделе

2. Эти правила в равной степени можно использовать как для выборочной, так и для теоретической дисперсии.

Правило дисперсии 1

Если у = v + w, то Var (у) = Var (v) + Var (w) + 2Cov (v,w).

Правило дисперсии 2

Если у = az, где а является постоянной, то Var (у) = a2 Var (z)-

Правило дисперсии 3

Если у = а, где а является постоянной, то Var (у) = 0.

Правило дисперсии 4

Если у = v + а, где а является постоянной, то Var (у) = Var (v).

Во-первых, заметим, что дисперсия переменной х может рассматриваться как ковариация между двумя величинами х:

Var(x) = ^ X (*/ - *)2 = \\ X (*/ - *)(х,- - х) = Cov(x, х).              (1.15)

Учитывая это равенство, мы можем воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобы вывести правила расчета дисперсии. Кроме того,

мы можем получить другую формулу для представления Var (х), используя соотношение (1.8) для выборочной ковариации:

1 П

(їло

-х .

1 /=1

Var(x) =

Доказательство правила 1

Если у              = v + w, то

Var (у)              = Cov (у, у) = Cov (y,[v + w]) =

= Cov ([v + w],v) + Cov ([v + w],w),              по правилу              ковариации 1,

= Cov (v, v) + Cov (w, v) + Cov (v,              w) + Cov              (w,              w),

по правилу ковариации 1,

= Var (v) + Var (w) + 2 Cov (v, w).              (1.17)

Доказательство правила 2

Если у = az, где а является постоянной, то, дважды используя правило ковариации 2, получим:

Var O\') = Cov O\