Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины — это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.

Предположим, что х может принимать п конкретных значений (х,, х2,..., хп) и что вероятность получения х, равна рг Тогда

П

Е(х) = ххрх+ х2Р2+. • .+Х„р„ = ? х,р,.              (0.1)

/=1

(Читатели, желающие освежить в памяти использование обозначений I, могут сделать это с помощью приложения 0.1.)

В случае с двумя костями величинами отх, дох„ были числа от 2 до 12;х, = 2, х2 = 3,..., х,, = 12 и Pi = 1/36, р2 = 2/36, ... , рИ = 1/36. Математическое ожидание рассчитывается так:

Если вычислить эту величину, то получится 7.

Прежде чем пойти дальше, рассмотрим еще более простой пример случайной переменной — число очков, выпадающее при бросании лишь одной игральной кости.

В данном случае возможны шесть исходов: х, = 1, Xj = 2, х3 = 3, х4 = 4, х5 = 5, хб=6. Каждый исход имеет вероятность 1/6, поэтому здесь

E(x) = \'?xipi = 1x| + 2x| + 3x| + 4x| + 5x| + 6x| = 3,5.              (q.2)

/ — 1

В данном случае математическим ожиданием случайной переменной является число, которое само по себе не может быть получено при бросании кости.

Математическое ожидание случайной величины часто называют ее средним по генеральной совокупности. Для случайной величиных это значение часто обозначается как ц.

0.2. Найдите математическое ожидание случайной величины х в упражнении 0.1.

Математические ожидания функций дискретных случайных переменных

Пусть# (х) — некоторая функция отх. Тогда Е {#(х)} — математическое ожидание #(х) записывается как

?{*(*)} = 1*lt;х/)А.              (0.3)

где суммирование производится по всем возможным значениям х В табл. 0.2 показана последовательность практического расчета математического ожидания функции от х.

Предположим, что х может принимать п различных значений от х, до хп с соответствующими вероятностями от р{ до рп. В первой колонке записываются все возможные значения х. Во второй — записываются соответствующие вероятности. В третьей колонке рассчитываются значения функции для соответствующих величин X. В четвертой колонке перемножаются числа из колонок 2 и 3. Ответ приводится в суммирующей строке колонки 4.

Пример

Каково математическое ожидание величины х2? Разумно ли предположить, что она равняется р2?

Рассмотрим пример с числами, выпадающими при бросании одной кости. Использовав схему, приведенную в табл. 0.2, заполним табл. 0.3.

В четвертой ее колонке даны шесть значений х2, взвешенных по соответствующим вероятностям, которые в данном примере все равняются \'Д.

Математическое ожидание х, как уже было показано, равно 3,5, и 3,5 в квадрате равно 12,25. Таким образом, величина Е(х2) не равна р.2, и, следовательно, нужно аккуратно проводить различия между Е(х2) и {?(х)}2 (последнее равно произведению Е(х) на Е{х), то есть р2).

Упражнения

0.3. Пусть л — случайная переменная с математическим ожиданием р, и А,— константа. Докажите, что математическое ожидание Хх равно А.р.

0.4. Рассчитайте Е(х2) для величины х, определенной, как в упражнении 0.1.