Оценки как случайные величины
Получаемая оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений х в выборке случайно, поскольку х — случайная переменная и, следовательно, случайной величиной является и функция набора ее значений.
Возьмем, например, х — оценку математического ожидания:; = +*2(021)
Мы только что показали, что величинах в /-м наблюдении может быть разложена на две составляющие: постоянную часть р и чисто случайную составляющую Uf
х, = р + иг (0.22)
Следовательно,
х = р + и, (0.23)
где й — выборочное среднее величин и,.
Отсюда можно видеть, что х, подобно х, имеет как фиксированную, так и чисто случайную составляющие. Ее фиксированная составляющая — р, то есть математическое ожидание х, а ее случайная составляющая — и, то есть среднее значение чисто случайной составляющей в выборке.
Функции плотности вероятности для х и х показаны на одинаковых графиках (рис. 0.7). Как показано на рисунке, величина х считается нормально распределенной. Можно видеть, что распределения, как х, так и х, симметричны относительно р — теоретического среднего. Разница между ними в том, что
распределение х ^же и выше. Величина х, вероятно, должна быть ближе к р,
чем значение единичного наблюдения х, поскольку ее случайная составляющая и есть среднее от чисто случайных составляющих их, и2,..., ип в выборке, которые, по-видимому, «гасят» друг друга при расчете среднего. Далее, теоретическая дисперсия величины и составляет лишь часть теоретической дисперсии и. В разделе 1.7 будет показано, что если pop. var (и) = а2, то pop. var (и) = а2/л.
Функция плотности Функция плотности
вероятности х вероятности X
Рис. 0.7. Сравнение функций плотности вероятности одиночного наблюдения
и выборочного среднего
Величина j 2 — оценка теоретической дисперсии х — также является случайной переменной. Вычитая (0.23) из (0.22), имеем:
xi-x = uj-u. (0.24)
Следовательно,
*2 =^їІ{(х/-ї)2}=-^їІ{(И/--й)2}. (0.25)
Таким образом, s2 зависит от (и только от) чисто случайной составляющей наблюдений х в выборке. Поскольку эти составляющие меняются от выборки к выборке, также от выборки к выборке меняется и величина оценки s2.