Теория ожиданий
Согласно теории ожиданий, процентная ставка по долгосрочным облигациям равна среднему из краткосрочных процентных ставок, ожидаемых на рынке в течение срока жизни долгосрочной облигации.
Например, если ожидается, что в ближайшие пять лет краткосрочные процентные ставки будут составлять в среднем 10%, то, согласно теории ожиданий, процентная ставка по облигациям с погашением через пять лет установится тоже на уровне 10%. Если бы ожидалось, что процентные ставки возрастут по истечении этого пятилетнего срока таким образом, что средняя краткосрочная ставка процента за ближайшие 20 лет составит 11%, то процент по 20-летним облигациям равнялся бы 11%, т.е. был бы выше, чем по пятилетним облигациям. Таким образом, согласно теории ожиданий, процентные ставки по облигациям с разными сроками погашения различаются потому, что в будущем по ним ожидаются разные краткосрочные процентные ставки.В основе этой теории лежит ключевое предположение: покупатели облигаций не имеют предпочтений относительно сроков погашения облигаций, т.е. они вкладывают средства в облигации с более высокой доходностью, независимо от срока погашения. Облигации с разными сроками погашения, имеющие одинаковую доходность, называются абсолютными субститутами.
Чтобы увидеть, как предположение об абсолютной субституции облигаций с разными сроками погашения подтверждает теорию ожиданий, рассмотрим следующие две стратегии инвестирования.
Покупка годовой облигации, а через год покупка другой годовой облигации.
Покупка двухлетней облигации и владение ею до погашения.
В предположении абсолютной субституции обе эти стратегии характеризуются одинаковой ожидаемой доходностью, следовательно, люди вкладывают средства и в годовые, и в двухлетние облигации. При этом процентная ставка по двухлетним облигациям должна равняться средней из двух годовых. Скажем, текущая ставка процента по годовым облигациям составляет 9%, и вы ожидаете, что по годовым облигациям она составит к следующем году 11%.
Если следовать первой стратегии, т.е. покупать две годовые облигации по очереди, то ожидаемая доходность за два года составит в среднем (9% + 11%)/2 = 10% в год. Инвестору будет безразлично, вкладывать ли средства в годовые или в двухлетние облигации, если ожидаемая среднего- \r\nдовая доходность последних составит 10%. Следовательно, ставка процента по двухлетним облигациям должна равняться средней ставке по двум годовым облигациям.Эти рассуждения можно обобщить. Рассмотрим два варианта вложения 1 долл.: покупка либо одной двухпериодной, либо двух однопериодных облигаций. Используем следующие обозначения:
it — сегодняшняя (на момент времени t) ставка процента по однопериодной облигации;
f+1 — ставка процента по однопериодной облигации, ожидаемая на следующий период (на момент времени t + 1);
i2l — сегодняшняя (на момент времени t) ставка процента по двухпериодной облигации.
Вычислим ожидаемый доход однодолларовой двухпериодной облигации за два последовательных периода. После второго периода вложенный доллар стоит (1 + i2)x х( 1 + i2t) долларов. Вычитая из этой суммы один изначально вложенный доллар, получаем выражение:
(1 + i2,)(l + i2) -1 = 1 + 2i2t + (if - 1 = 2i2, + (if.
Разделим полученный результат на исходный 1 долл. и получим норму доходности двухпериодной облигации. Поскольку (г2,)2 — это крайне малая величина (если i2l = 10% = 0,1, то (i2,)2 = 0,01), ожидаемая доходность двухпериодной облигации равна просто 2i2t.
При выборе другой стратегии, в рамках которой покупаются две однопериодные облигации, ожидаемый доход от вложения 1 долл. на два периода составит
(1 + i()(l + ?,) - 1 = 1 + I, + ?, + it(i\'u) ~ 1 = h + ?, + «,(?.)•
По окончании первого периода вложенный 1 долл. превращается в 1 + i. Затем эта сумма вкладывается в однопериодную облигацию на следующий период, что приносит доход (1 + z\'t)(l + f,+j). Вычитание из этой суммы 1 долл. начальной инвестиции и деление результата на исходную сумму (1 долл.) дают ожидаемую доходность для стратегии покупки двух однопериодных облигаций.
С учетом того, что i,(F++) — также очень маленькая величина (если it = f(+1 = 10% = 0,1, то i(f,+) = 0,01), ожидаемая доходность составит it + »\'+гВложения в облигации обоих типов будут осуществляться только в том случае, если их ожидаемые доходности равны, т.е. когда
2i,, = it + ilv
Решая данное уравнение относительно i2t, получим новое уравнение:
h, = ЦЛ- (6.1)
Согласно уравнению (6.1), двухпериодная норма доходности равна среднему арифметическому из однопериодных норм доходности.
Сегодня Год Год
О . 1 2
\'« ; L±J1±L 7
Можно проделать ту же процедуру и для облигаций с большим сроком погашения, чтобы изучить всю временнг/ю структуру процентных ставок. Тогда получим, что ставка процента i по и-периодной облигации должна быть равна
h + \'м-i + h+2 + • • • + \'(+("-1) /с о\\
tM = . (6.2)
п
Согласно уравнению (6.2), я-периодная ставка процента равна среднему арифметическому из однопериодных ставок процента, ожидаемых за весь срок жизни и-пе- риодной облигации. Это и есть формальное выражение теории ожиданий .
Простой числовой пример поможет пояснить, о чем говорят уравнение (6.2) и теория ожиданий. Если на ближайшие пять лет годовые ставки процента ожидаются на уровне соответственно 5,6,7, 8 и 9%, то, по уравнению (6.2), процентная ставка по двухлетней облигации составит
5/о + О/о - _„, = 5,5%,
а по пятилетней
5% + 6% + 7% + 8% + 9% 7% 5
Рассчитывая аналогичным образом процентные ставки для одно-, двух-, трех- и четырехлетних облигаций, получим их равными соответственно 5, 5,5, 6 и 6,5%. Как видим, чем выше срок погашения, тем больше процентная ставка, т.е. кривая доходности имеет положительный наклон. Возрастающая последовательность ожидаемых краткосрочных ставок порождает кривую доходности с положительным наклоном.
Теория ожиданий позволяет элегантно объяснить, почему временная структура процентных ставок (представленная кривыми доходности) изменяется. Если кривая доходности имеет положительный наклон, то, согласно теории ожиданий, в будущем ожидается рост краткосрочных процентных ставок (как мы и видели в числовом примере).
Если долгосрочная процентная ставка выше текущей краткосрочной, это означает, что среднее арифметическое из будущих краткосрочных ставок превысит текущую краткосрочную ставку. Так может случиться лишь в том случае, если ожидается рост краткосрочных процентных ставок. Именно это можно видеть в числовом примере. Отрицательный наклон кривой доходности означает, что ожидаемое среднее арифметическое из краткосрочных процентных ставок будет ниже текущей краткосрочной ставки. Это возможно при условии, что в будущем ожидается снижение краткосрочных процентных ставок. Только в случае, когда кривая доходности горизонтальна, согласно данной теории, ожидается неизменность (в среднем) краткосрочных процентных ставок в будущем.Теория ожиданий объясняет также факт 1: почему процентные ставки по облигациям с разными сроками погашения изменяются синхронно. Жизненный опыт говорит, что если сегодня краткосрочные процентные ставки растут, то и в дальнейшем они тоже будут повышаться. Значит, рост краткосрочных ставок увеличивает ожидаемые будущие значения краткосрочных процентных ставок. Поскольку долгосрочные ставки связаны со средним значением ожидаемых будущих краткосрочных \r\nставок, рост краткосрочных ставок повышает и долгосрочные ставки, в силу чего краткосрочные и долгосрочные ставки изменяются одновременно.
Теория ожиданий объясняет и факт 2: почему кривые доходности обычно имеют положительный наклон, когда краткосрочные ставки процента низки, и отрицательный — когда они высоки. Если краткосрочные ставки процента принимают низкие значения, то в основном ожидается, что в будущем они вырастут до нормального уровня, и среднее арифметическое из ожидаемых краткосрочных ставок окажется высоким по сравнению с текущей краткосрочной ставкой процента. Следовательно, долгосрочные процентные ставки будут существенно выше текущих краткосрочных ставок, а кривая доходности будет иметь положительный наклон. И наоборот, если краткосрочные ставки высоки, то обычно ожидается их снижение. Тогда долгосрочные ставки упадут ниже краткосрочных, поскольку среднее арифметическое из ожидаемых краткосрочных ставок будет меньше их текущих значений, а кривая доходности будет иметь отрицательный наклон .
Теория ожиданий привлекательна тем, что она позволяет довольно просто объяснить поведение процентных ставок. Однако, к сожалению, она не может объяснить факт 3: почему кривые доходности обычно имеют положительный наклон. Типичный положительный наклон кривой доходности требует, чтобы в будущем всегда ожидался рост краткосрочных процентных ставок. На практике последние могут с равной вероятностью как расти, так и падать, а значит, теория ожиданий привела бы нас к выводу скорее о горизонтальной, чем о положительно наклоненной кривой доходности.