Несколько основных правил расчета ковариации

Есть несколько важных правил, которые вытекают непосредственно из определения ковариации. Поскольку они будут многократно использоваться в последующих главах, имеет смысл сформулировать их сейчас:

Правило 1

Если у = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, у) + Cov (х, w).

Правило 2

Если у = az, где a — константа, то Cov (х, у) = a Cov (х, lt;:).

Правило 3

Если у — а, где а — константа, то Cov (х, у) = 0.

Сначала эти правила будут проиллюстрированы на примерах, и мы проверим их выполнение, после чего будут приведены доказательства. В большей части данной книги важнее понимать, что означают эти правила и как ими пользоваться, чем уметь доказывать их, но на самом деле доказательства нетрудны.

Демонстрация и доказательство правила 1

Допустим, что у нас есть данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в табл. 1.3: общий годовой доход (х); расходы на питание и одежду (у);

расходы на питание (v) и расходы на одежду (w).

В табл. 1.4 величины (х-х), (у-у), (v-v) и (w-w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (х-х)(у-у), (x-x)(v-v) и (x-x)(w-w) для каждой семьи. Cov (х,у) получается как среднее величин (х -х)(у - у) и равняется 266 250. Аналогично Cov(x.y) равна 157 500 и Cov(x,w) = 108 750. Мы проверили, что Cov(х,у) является суммой Cov(x, v) Cov(x, v) и Cov(x,w).

Таблица 1.4

Легко показать, что именно так и должно быть. Рассмотрим i-ю семью, (х,. -х)(у; -у) — это ее вклад в величину Со\\lt;х,у). Поскольку y, = v,. + w;. и у = v + w, то

(X,. - х)(у; - у) = (Х,- - x)(v,. + Wf - V - w) = (х,- - x)(v; - v) + (Ху - x)(w; - w),              (1.2)

и, таким образом, мы показали, что вклад семьи і в Cov(x, у) является суммой ее вкладов в Cov(x, v) и Cov(x, w).

Демонстрация и доказательство правила 2

В табл. 1.3 последняя колонка (г) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение у. Предполагается, что значения величины х для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x, z) нам, как и ранее, необходимы значения (х-х), а также (г-г) (табл. 1.5).

Из табл. 1.5 можно видеть, что Cov(x, z) равна 532 500, что в точности равно удвоенной Cov(x, у). Таким образом мы проверили, что Cov(x, 2у) совпадает с 2Cov(x, у).

И снова легко видеть, почему так получается. Рассмотрим первую семью. Поскольку zi = 2yl и z = 2y, a (xt-x)(zi-z) равно (х,-х)(2у,-2у) и, следовательно, равно 2(xj -x)(yj -у), то вклад первой семьи в величину Cov(x, z) в точности равен двойной величине ее вклада в Cov(x, у). То же самое справедливо для всех других семей. Средняя величина (х - x)(z - г) поэтому равна удвоенной средней величине (х - х)(у-у) и, таким образом, Cov(x, z) — 2Cov(x, у). Обобщая, получим, что если z — ау (и отсюда z = ay), то

Cov(x, z) = 2Cov(x,у) =              (*i              - х)(г, ~ *gt; =              (*; ~ хИауі - ay) =

= ^ X (xi ~ х)(Уі -У) = aCov(x,у).              (1.3)

Демонстрация и доказательство правила 3

Это совсем просто.

Если вы настаиваете на построении обычно используемой в таких случаях таблицы, то она будет выглядеть как табл. 1.6.

Дальнейшие выводы

Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая-то переменная равна сумме трех переменных — u, v и w, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части (и и v + w), получим:

Cov(x, у) = Cov( х, и + v + w) = Cov(x, и)+Cov(x, v + w)              (1-4)

и, снова воспользовавшись правилом 1, имеем:

Cov(x, у) = Со\\(х, и) + Cov(x, v) + Cov(x, w).              (1-5)

Другой пример: если y = a+bz, где а и b — константы, a z — переменная величина, то, пользуясь последовательно правилами 1, 3 и 2, получим:

Со v(x,y) = Cov(x, а) + Cov(x, bz) = 0 + Cov(x, bz) = bCov(x,z).              (1.6)

При наличии небольшой практики выполнить эти преобразования не составит труда.