Альтернативное выражение для выборочной ковариации

Выборочная ковариация между х и у определяется как

Iя -              -

Cov(x, у) = - X (*/ - *)(.У/ - У)-              (1              7)

" /=1 ’

Другим эквивалентным выражением является

1 П

-ЛВУі

Cov(x, у) =

П -

/=1

ХУ-              (1.8)

Иными словами, ковариацию вы можете получить, вычисляя х,у1 + х2у2 + +...

Далее, для тех, кого это интересует, приводится доказательство эквивалентности указанных выражений. В случае возникновения затруднений его можно пропустить.

j я              _              _              | Л              _

Cov(x, у) = -Х (X,- - Х)(У/ - у) = -X (Х/Уі - ХУі -Х/У- ху) =

/=1 /=1

= - {*іУі - ху, - х,у + ху + x2y2 -ху2-х2у + ху + ... + х„у„ - ху„ - х„у + ху). (1.9) п

В результате сложения по столбцам, а также воспользовавшись тем, что 1х/ = пх И Ху, = яу, получим:

Cov(x,у) = і{ХХ/У/ - хХУ/ -уХхі + пху] = “ {ххіУі -пху-пху + яху|, (1.10) откуда и следует (1.8).

1. В некоторой бюрократической стране годовой доход каждого индивида у определяется по формуле:

у = 10000+ 500./ + 200/,

где s — число лет обучения индивида; t — трудовой стаж (в годах); х — возраст индивида. Рассчитайте Cov(x, у), Cov(x, s) и Cov(x, /) для выборки из пяти индивидов, описанной ниже, и проверьте, что

Cov(x, у) = 500 Cov(x, s) + 200 Cov(x, /).

Объясните аналитически, почему так происходит.