Выборочная ковариация

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие будет проиллюстрировано на простом примере. Со времен нефтяного кризиса 1973 г.

На рис. 1.1 эти данные показаны в виде диаграммы рассеяния. Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой.

Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единым числом. Для его вычисления мы сначала находим средние (для рассматриваемого выборочного периода) значения цены и спроса на бензин. Обозначив

цену через р и спрос — через у, мы, таким образом, определяем р и у, кото-

Расходы              Индекс              реальных цен

°Д              (млдр.              долл.,              цены              1972              г.)              (1972=100)

рые для этой выборки оказываются равными соответственно 143,36 и 26,27.

Определение

При наличии п наблюдений двух переменных (х и у) выборочная ковариация между х и у задается формулой:

I «              __              j              __              __

Cov(x,y) = -?(*,- -х)(у,-у) = -{(Х|-х)(у,-у)+ .. + (х„-х)(у„-у)}.              (П)

л 1=1 л

Замечание 1. В разделе 1.4 мы определим также ковариацию генеральной совокупности. Для различения этих двух ковариаций мы используем обозначение Cov (х, у) с прописной буквы С применительно к выборочной ковариации и pop. cov (х, у) — для ковариации между х и у в генеральной совокупности. Иногда последнюю будет удобно обозначать как а^.. Аналогичные обозначения мы используем и для дисперсии: Var(x) — применительно к выборочной дисперсии и pop. var (х) — к дисперсии для генеральной совокупности (теоретической).

Замечание 2. В некоторых учебниках выборочная ковариация по аналогии с выборочной дисперсией определяется путем деления на (л — 1) вместо л по

200

180

160

140

120

100

25              26              27              28              29              Спрос              на бензин

(млрд. долл., цены 1972 г.)

Рис. 1.1. Спрос на бензин в США, 1973-1982 гг.

причинам, которые будут объяснены в разделе 1.5. В примере с бензином детали проведенных вычислений для всей выборки приведены в табл. 1.2. Здесь в

столбцах 2 и 3 представлены исходные данные для ~р и у. В результирующих

строках вычисляютсяр и у. В столбцах 4 и 5рассчитываются (р- Р) и (у-у) для каждого года, а в столбце 6 эти две величины перемножаются. В нижней клетке

Таблица 1.2

Реальный индекс цен, 1972=100 Р

200

180

160

140

В

120

100

24

25

26

27

28              29

Спрос на бензин (млрд. долл., цены 1972 г.)

Рис.

последнего столбца определяется средняя величина (—16,24), она и является значением выборочной ковариации.

Вы должны заметить, что ковариация в данном случае отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь, как это имеет место в данном примере, выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь — положительной ковариацией.

Имеет смысл рассмотреть причину этого. Рисунок 1.2 точно такой же, как и рис. 1.1, но здесь диаграмма рассеяния наблюдений делится на четыре части

вертикальной и горизонтальной линиями, проведенными через риу соответственно. Пересечение этих линий образует точку (р,у), которая показывает среднюю цену и средний спрос за период времени, соответствующий нашей выборке. Используя аналогию из физики, можно сказать, что эта точка является центром тяжести совокупности точек, представляющих наблюдения.

Для любого наблюдения, лежащего в квадранте А, значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений. Для данных наблюдений как (Р-Р), так и (.У-У) являются положительными, а поэтому должно быть положительным и (р - р)(у -у). Наблюдение, таким образом, дает положительный вклад в ковариацию. Так, например, наблюдение за 1979 г. лежит в этом квадранте и (р-р) = 6,34, (у-у) = 1,13, а их произведение равно 7,16.

Далее рассмотрим квадрант В. Здесь наблюдения имеют реальную цену ниже средней и спрос выше среднего. Поэтому (р-р) отрицательно, (у-у) положительно, произведение (р - р)(у - у) отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию. Например, наблюдение за 1978 г. имеет (р-р) = = -21,76, (у-у) =2,03 и (р-р)(у-у), таким образом, равно -44,17.

В квадранте С как реальная цена, так и спрос ниже своих средних значе- ний. Таким образом, (р-р) и {у-у) оба являются отрицательными, а (р- Р)(у-у) положительно. (В качестве примера см. наблюдение за 1974 г.)

Наконец, в квадранте D реальная цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом, {р-р) положительно, {у-у) отрицательно, поэтому

{р- р){у-у) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад. (В качестве примера см. наблюдение за 1981 г.)

Поскольку выборочная ковариация является средней величиной произведения {р-р){у-у) для 20 наблюдений, она будет положительной, если положительные вклады будут доминировать над отрицательными, и отрицательной, если будут доминировать отрицательные вклады. Положительные вклады исходят из квадрантов А и С, и ковариация будет, скорее всего, положительной, если основной разброс пойдет по наклонной вверх. Точно так же отрицательные вклады исходят из квадрантов BviD. Поэтому если основное рассеяние идет по наклонной вниз, как в данном примере, то ковариация будет, скорее всего, отрицательной.