2.6. Множественная корреляция

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции

s2

1 , (2.10)

1

R

yx1x2...x

\' V s2

2

где sу - общая дисперсия результативного признака; &ост - остаточная дисперсия для уравнения у = f (x1f x2, ..., xp)

s2 = ?(У- ^...xp )2 ост n \'

Индекс множественной корреляции изменяется от 0 до 1.

R > R ( )(i = 1p).

yx1 x2... xp yxt (max) V \' ^

При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Отсюда ясно, что, сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора. Так, если у рассматривается как функция от х и z и получен индекс множественной корреляции Ryzx = 0,85, а индексы парной корреляции при этом были Ryx = 0,82 и Ryz = 0,75, то совершенно ясно, что уравнение парной регрессии у = Дх) охватывало 67,2 % (0,822 = 0,672) колеблемости результативного признака под влиянием фактора х, а дополнительное включение в анализ фактора z увеличило долю объясненной вариации до 72,3 % (0,852 = 0,723) т. е. уменьшилась доля остаточной вариации на 5,1 процентного пункта (с 32,8 до 27,7%).

Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной корреляции:

R

1 - I(у --W-v ) .

yx1x2...x

p

I (У - У)2 ( )

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:

R = I В * г ,

где Вх - стандартизованные коэффициенты регрессии;

rx - парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков.

У = a + b1 ¦ x1 + b2 ¦ ln x2 + b1 ¦ x1 + b3 ¦ ln x3 + b4 ¦ ln x4 + e,

где xi - удельные расходы на рекламу; x2 - капитал фирмы; x3 - доля продукции фирмы в общем объеме продаж данной группы товаров по региону; x4 - процент увеличения объема продаж фирмы по сравнению с предыдущим годом.

Тогда независимо от того, что фактор xi задан линейно, а факторы x2, x3, x4 - в логарифмах, оценка тесноты связи может быть произведена с помощью линейного коэффициента множественной корреляции.

В рассмотренных показателях множественной корреляции (индекс и коэффициент) используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону преуменьшения, тем более значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии при заданном объеме наблюдений п. Если число параметров при х] равно m и приближается к объему наблюдений, то остаточная дисперсия будет близка к нулю и коэффициент (индекс) корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом.

Для того чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции. Скорректированный индекс множественной корреляции содержит по- правку на число степеней свободы, а именно, остаточная сумма квадратов

I (У - У )2 делится на число степеней свободы остаточной вариации

x1 x2 ...x p

(п - m - 1), а общая сумма квадратов отклонений I (У - У)2 - на число степеней свободы в целом по совокупности (п - 1).

Формула скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид

R2 = 1 -1 (У-У)2 :2(П-m-1), (2.12)

I (у - у)2 : (п -1)

где m - число параметров при переменных х, п - число наблюдений.

Поскольку

I (у - У)2 / I (у - У)2 = 1 - R2,

то величину скорректированного индекса детерминации можно представить в виде

R2 = 1 -(1 - R2) * (п-1)1 . (2.13)

(п - m -1)

Чем больше величина m, тем сильнее различия R 2 и R2.

Для линейной зависимости признаков скорректированный коэффициент множественной корреляции определяется по той же формуле, что и индекс множественной корреляции, т.

у = f (х1, х2), то для линейной регрессии m = 2, а для регрессии вида

22

У = a + b1 ¦ x1 + b12 ¦ x1 + b2 ¦ x2 + b22 ¦ x2 +e

число параметров при х равно 4, т. е. m = 4. При заданном объеме наблюдений, при прочих равных условиях, с увеличением числа независимых переменных (параметров) скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает. Его величина может стать и отрицательной при слабых связях результата с факторами. В этом случае он должен считаться равным нулю. При небольшом числе наблюдений скорректированная величина коэффициента множественной детерминации R2 имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель.

В статистических пакетах прикладных программ в процедуре множествен-ной регрессии обычно приводится скорректированный коэффициент (индекс) множественной корреляции (детерминации). Величина коэффициента множественной детерминации используется для оценки качества регрессионной модели.

Низкое значение коэффициента (индекса) множественной корреляции означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы - с одной стороны, а с другой стороны - рассматриваемая форма связи не отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель.

В этом случае требуются дальнейшие исследования по улучшению качест-ва модели и увеличению ее практической значимости.