Показатели частной корреляции

В общем виде при наличии р факторов для уравнения

y = a + b ¦ х + bn ¦ x.

J 112 2 p p

коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на у фактора х при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

1 - R2

yxix^.x,.--x

л J 1 2 1p

r *

yxi *x1x2"\'xi-1xi+1-xp

1 — , (2.14)

1-R

yx\\x2 "xi-Л" ¦x-

yx. Y. x. . x

p

где

R2

.x - множественный коэффициент детерминации всего комплекса р

p

факторов с результатом;

R2 - показатель детерминации, но без введения в модель фак-

.xp

тора xi.

При 1 = 1 формула коэффициента частной корреляции примет вид

1 - R2

1 - R2

yx2...xp

r *

yx1 * x2 ".x p

1

p

Уxix2...x

Данный коэффициент частной корреляции позволяет измерить тесноту связи между у и xi при неизменном уровне всех других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Пример. Предположим, что зависимость объема продукции у от затрат труда xi характеризуется уравнением

У = 27,5 + 3,5 • x; г = 0,58.

у x1 \' \' 1 \' yx1 \'

Подставив в это уравнение фактические значения x1, найдем теоретические величины объема продукции yx и соответствующую величину остаточной

дисперсии S2:

2

2 ( Уі - л)2

S

yx1 n

Включив в уравнение регрессии дополнительный фактор x2 - техническую оснащенность производства, получим уравнение регрессии вида

y = 20,2 + 2,8 • x + 0,2 • x,.

^x1x2 1 \' 2

Для этого уравнения остаточная дисперсия, естественно, меньше. Предпо

ложим, что S2 = 3,7 ; S2 = 6. Чем большее число факторов включено в мо-

x x.

12

yx1

дель, тем меньше величина остаточной дисперсии.

Сокращение остаточной дисперсии за счет дополнительного включения фактора x2 составит

S2 - S2 = 2,3.

yx1 yx1 x2

Чем больше доля этого сокращения в остаточной вариации до введения дополнительного фактора, т.

Следовательно, чистое влияние фактора x2 на результат у можно определить как

S2 - S2

yx1 yx1 x2

г*

Sy2x

yx1

yx2 * x1

x1 К

Аналогично определяется и чистое влияние на результат фактора x1

Sy2x

yx2

1

г*

yx1 * x2

S2 - S2

yx2 yx1 x2

3,7

* = 0,51 и г

6 - 37 = 0,619.

Если предположить, что Syx = 5, то частные показатели корреляции для уравнения ухх = 20,2 + 2,8 • x1 + 0,2 • x2 составят

г

5 \' yx2 * x1 \\

6

\' =і

Сравнивая полученные результаты, видим, что более сильное воздействие на объем продукции оказывает техническая оснащенность предприятий.

Если выразить остаточную дисперсию через показатель детерминации S2 = о2 (1 - r2), то формула коэффициента частной корреляции примет вид

S2

yx1x2

S2

yx2

1 - R2

yx1 x2

S2 - S2

1

1

r *

yx1 * x2

yx2 yx1 x2

r2

yx2

1

S2

yx1

Соответственно

1

r2

yx1

r*

yx2 *x1

1

2

yx1x

1 - R2

Рассмотренные показатели частной корреляции принято называть коэффициентами (индексами) частной корреляции первого порядка, ибо они фиксируют тесноту связи двух переменных при закреплении (элиминировании влияния) одного фактора.

Рассчитанные частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от 0 до +1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тес-ноте их связи с результатом.

Частные коэффициенты корреляции, подтверждая ранжировку факторов по их воздействию на результат, полученную на основе стандартизованных коэффициентов регрессии (/-коэффициентов), в отличие от последних, дают конкретную меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии tv = ¦ + fХп ¦ tXn + f^ • t

x3 x3

x2 x2

по степени влияния на результат порядок факторов таков: хь х2, x3, то тот же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов

> r *

yx2 * x1x3

>r

корреляции, ry

yx1 *x2x3 yx2 *x1x3 yx3 *x1x2 •

В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют са-мостоятельного значения.

Так, строя многофакторную модель, например, методом исключения переменных, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции.

На втором шаге отбирается фактор с наименьшей и несущественной по t-критерию Стьюдента величиной показателя частной корреляции (п. 2.8). Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. Если исключен несущественный фак-тор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели почти не отличаются друг от друга, т. е.

R,+1 » R2, где p - число факторов.