Множественная регрессия в нелинейных моделях

В главе 4 было показано, что линейные модели регрессии могут быть описаны как линейные в двух отношениях: как линейные по переменным и как линейные по параметрам. Для линейного регрессионного анализа требуется линейность только по параметрам, поскольку нелинейность по переменным может быть устранена с помощью изменения определений.

у = а + р,*!2+p2v?7 + ...              (4.5)

может быть переписана в форме, которая будет линейной по переменным:

у = а+р,г, +р2г2 + ...,              (4.6)

путем простого определения г, = хх, Z2 = Jxi и т. д. Если случайный член (не

показанный явно в уравнении) удовлетворял условиям Гаусса—Маркова в начальном уравнении, то он будет им удовлетворять и в переписанном уравнении. Следовательно, в качестве примера мы могли бы оценить квадратичную зависимость:

у = а + р,х + р^х2 + и,              (5.23)

записав z =х2 и оценив регрессию между у, х и z- Включая более высокие степени для х, мы в принципе могли бы оценить коэффициенты многочлена любого нужного нам вида.

Нелинейность по параметрам является более серьезной проблемой. Если, однако, правая часть модели состоит из членов видахР или еР*, умноженных друг на друга, а случайный член является мультипликативным, то модель может быть линеаризована посредством логарифмирования ее обеих частей. Следовательно, например, функция спроса

у = адflpiv,              (5.24)

где у — расходы на товар, х — доход, р — относительная цена, a v — случайный член, может быть преобразована в форму, которая является линейной по параметрам:

Iogy= log a + piogx + ylog/? + logv.              (5.25)

Если вы оцениваете регрессию между данными для log у, log х и log р, то коэффициент при log х будет непосредственной оценкой р — эластичности спроса по доходу, а коэффициент при log р будет оценкой у — эластичности спроса по цене.

Пример 1. Функция спроса

Логарифмическая регрессия между расходами на питание и располагаемым личным доходом для США была оценена на основе тех же данных, которые использовались для уравнения (5.3), и был получен следующий результат (в скобках указаны стандартные ошибки):

log у= 2,82 + 0,64 log х 0,48 log р\\ Л2 = 0,99;              (5.26)

(0,42) (0,03)              (0,12)              F= 820,1.

Уравнение регрессии показывает, что эластичность спроса по доходу составляет 0,64, а эластичность спроса по цене — 0,48, и оба коэффициента значимо отличаются от нуля при однопроцентном уровне значимости.

Пример 2. Производственная функция Кобба—Дугласа

В 1927 г. Пол Дуглас, экономист по образованию, обнаружил, что если нанести на одну и ту же диаграмму графики логарифмов показателей реального объема выпуска (Y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к математику Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую функцию:

Y = AKaLl~a.              (5.27)

Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уик- стидом (Wicksteed), как было указано Ч. Коббом и П. Дугласом в их классической работе (Cobb, Douglas, 1929), но они были первыми, кто использовал для ее построения эмпирические данные, представленные в табл. 5.1. Авторы не описывают, каким образом они на самом деле подобрали функцию, но предположительно они использовали начальную форму регрессионного анализа, так как они ссылались на «теорию наименьших квадратов». По их оценке, а = \'/4.

Если повторить их вычисления, используя регрессионный анализ, то нельзя сразу провести линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения, поскольку тогда мы получим две различные оценки а. Коэффициент при log К дает нам одну оценку, а коэффициент при log L, который является оценкой (1 — а), позволит нам вычислить другую оценку.

Y/L = A(K/L)av              (5.28)

(включая случайный член v). В этой форме функция может быть интерпретирована как соотношение выпуска на одного работника к капитальным затратам на одного работника, и теперь мы проведем ее линеаризацию, взяв логарифмы:

log (Y/L) = log А + a log (К/L) + log v.              (5.29)

Использовав для оценивания этого уравнения данные из табл. 5.1, получим (стандартные ошибки указаны в скобках):

Таблица 5.1

Индексы реального объема производства, реальных капитальных затрат и реальных затрат труда (промышленность США, 1899-1922 гг.)

(1899= 100)

Источник: Cobb, Douglas (1928).

что подтверждает вычисления Ч.

log YfL = 0,02 + 0,25 log K/L\\              R2 = 0,63;

(0,02) (0,04)              F= 38,0.

Y=AKaLh,              (5.31)

где показатели эластичности выпуска по затратам капитала и труда не связаны между собой. Оценив его с использованием тех же самых данных, мы получим (стандартные ошибки указаны в скобках):

log Г= —0,18 -+ 0,23 log АГ+ 0,81 log Z.; Ю = 0,96;              (5.32)

(0,43) (0,06)              (0,15)              F= 236,1.

Это указывает на то, что эластичность выпуска продукции по затратам капитала составляет 0,23, что очень близко к предыдущей оценке, а эластичность по затратам труда составляет 0,81, что несколько выше предыдущей оценки, равной 0,75.

Упражнения

5. Оценка логарифмической регрессии между расходами на жилищные услуги, располагаемым личным доходом и относительной ценой этих услуг с использованием данных, приведенных в упражнении 5.2, дает следующий результат:

log у= -1,60+ 1,18 log х — 0,34 log/).

Дайте интерпретацию этого уравнения. Сравните ее с интерпретацией, данной для упражнения 5.2. В каком смысле она лучше?

6. Оцените аналогичную логарифмическую регрессию между расходами на товар, выбранный вами в упражнении 2.4, располагаемым личным доходом и относительной ценой товара. Дайте интерпретацию результата.

Свойства производственнойф^кциикобба—Дугласа

В рассмотрении эластичности выпуска прод укции^ эффекта от. масштаба производства и прогнозируемых долей щюйзводственных факторов мы будем Использовать более общую фс^у\'функции ^пренебрегать^ случайным щіеном. ,

Эластичность выпуска продукции

Эластичность выпуска продукции по капиталу и. труду равна соответственно а и р, так как

BY/ЬК _ A(a[Ka-x])amp; _

Y / К              АКа-\'amp;

и аналогичным образом легко показать, что (dY/dL)/(Y/L) равно р: Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% цриведет к росту выпуска продукций на а процентов, а увеличение затрат труда йа \\% приведет к росту выпуска нар процентов.

Эффект от масштаба производства

Если а и р в сумме превышают единицу, то говорят, чтофункция имеет возрастающий эффрктот масог^а производства (этрозвгёчает, что если К и L уйёдачиваю\'тся\' в йёко^рр^Шзрсйорцш большей пропорций). Еслййх сумма равна»ё?иниф%то;эта^ » постоянном эффекте от масштаба производства (Уувелйчиваетсжй/то^\' же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше,: чем единйца; лхgt; имеет место убывающий эффект от масштаба производства (Уувелй-. чивается в меньшей пропорции, чем Киї).

Например, предположим, что Ки L удваиваются. Тогда новыйуро- вень выпуска (У ) записывается следующим образом:

" Г = A (2?)«(2I)1gt; = A7*k«VD = 2«**AK*Ifi \'^2^Y.

Если а + 3 = 1,2, a 2e+P= 2,30, то У увеличиваемся больше чем в 2,раза/ Если а + р = 1,0, а 2в+Р = 2, то удвоение КиЬ приводит*: удвоению ТІ- Еслиа + Р,= 0,8, а 2в+Р= 1,74, то Уувеличйвается\'меірьщечем в 2 раза.

В своей первой статье Ч. Кобб и ГГ Дуглас описывали функцию в\' виде соотношение (5:27), т. е. они изначально предполагали постоянную отдачу от масштаба. Впоследствии ониослабиди это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства.

Прогнозируемые доли производственных факторов,

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства а и Ь имеют дальнейшую интерпретацию как^їііріз1 гнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет ка- пщ-ала и труда. Если рынок труда имее^конкурентный характер, то\' ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда

w^~j- = AK*0-1 =Щ-.

BL -              L              .

Следовательно, общая сумма заработной, платы fwl) будет равна (ЗУ, а доля труда в общем выпуске продукции,(wL/Y) составит, црс стоянную величину р. Аналогичным обріазом норма^прибшШ р вы? ражается через dY/dK:

. gt;

и, следовательно, общая прибыль (pf?)будет равна;а7;;.\'адоля^ прибыли будет постоянной величиной а. В,своей цервой работе Ч. Крбб[й П. Дуглас подтвердили, что доля труда1 действительно состдвшіа^цри.- мерно 3/а, как и прогнозировалось оцененной, ими фуцкцирй. , .

Существует ряд проблем по применению такой функции, ,особен- но в тех случаях, когда она используется для^эконр^арая^ в цё^^З, частности, даже в тех случаях, когда мевду/выпуСко^; продапк^и^,; производственным оборудованием и трудомгргщбдеіюді^^ цессе существует технологическая зависщиос,ть,;Т,amp; соверщешг^нр- обязательно, что подобная зависимость .существует ,тогда,;Кріда:уіф-, занные факторы комбинируются в масштабак.экощ)Щжив црлр^Вот вторых, даже если такая зависимость для экоирмики в целом /?уще-; ствует, то нет никаких оснований считать, что она: будеТ; Иметд» ,цро+ стую форму.