Интерпретация коэффициентов множественной регрессии

Множественный регрессионный анализ позволяет разграничить влияние независимых переменных, допуская при этом возможность их коррелирован- ности. Коэффициент регрессии при каждой переменной*дает оценку ее влияния на величину у в случае неизменности влияния на нее всех остальных переменных*.

Это может быть продемонстрировано двумя способами. Один из них состоит в выяснении того, что если модель правильно специфицирована и выполнены условия Гаусса—Маркова, то оценки получаются несмещенными. Это будет сделано в следующей главе для случая, когда имеются только две независимые переменные. Второй способ состоит в оценивании регрессионной зависимости у от одной из независимых переменных, устранив перед этим возможность замещения этой переменной любой другой независимой переменной и показав далее, что оценка ее коэффициента в данном случае совпадет с оценкой коэффициента множественной регрессии. Этот способ будет описан для случая регрессии с двумя независимыми переменными. Предположим, что

у = a + р,х, + р2*2 + и,              (5.17)

и допустим, что величины р, и Р2 положительны и *, и *2 положительно кор- релированы.

Что произойдет, если оценить парную регрессию между у и *,? По мере увеличения х, (1)у имеет тенденцию к росту, поскольку коэффициент р, положителен; (2) х2 имеет тенденцию к росту, так как *, и х2 положительно коррели- рованы; (3) у получит ускорение из-за увеличения х2 и благодаря тому, что коэффициент Р2 положителен. Другими словами, изменения у будут преувеличивать влияние текущих значений *,, так как отчасти они будут связаны с изменениями *2-

Это показано на рис. 5.2. Стрелки, проведенные сплошной линией, показывают непосредственные воздействия х, и х2 на у. Если х2 не включается в рассмотрение, то часть изменений у за счет изменений х2 будет приписана *,, если переменная *, может замещать*2, действуя подобно ей.

Предположим, однако, что вы устранили возможность замещения величиной *, величины х2. Допустим, что можно разложить переменную х, на две составляющие:

X! = X, + j?j,              (5.18)

где j?j — составляющая, способная замещать Xj, их, — оставшаяся часть. Парная регрессионная зависимость у от х, дает оценку влияния х,, не искаженного тем, что данная переменная частично выступает в качестве замещающей для х2. Мы покажем, что оценка р,, полученная таким образом, является идентичной оценке коэффициента множественной регрессии (5.12).

Для регрессионной зависимости у от х, коэффициент наклона составит Ь,

где

г = Cov(xi.y) = Соу(х,,у)-Соу(х,,у)

1              Var(x,) Var(x,) + Var(x1)-2Cov(x1,x1)’              Р-19)

так как х, равно (х,— ?,).

Чтобы определить величину х,, можно оценить регрессию между х, и х2 на основе данных об этих показателях, получив зависимость:

xl = c + dx2,              (5.20)

Следовательно, величина х, является составляющей х,, которая может быть спрогнозирована с помощью Xj. Величина //определяется следующим выражением:

Соф^х*)

Var(x2)              (5/21)

Непосредственный аффект х, при постоянной хг

Эффект величины х.

выступающий в качестве заменителя xj

Рис. 5.2

Кажущийся аффект

величины х,

Подставляя формулу (5.20) в уравнение (5.19), получим:

? _              Cov(X|, у) - Cov ({с + dx2},y)              _

1 Var(x,) + Var(c + dx2) - 2Со v(x,, (с + dx2})

Cov(x,, у) - dCov(x2, у)

Var(xi) + //2Var(x2)-2lt;/Cov(x,,X2)              ^

(Отметим, что с исключается из выражений ковариации и дисперсии, так как эта величина является постоянной.) Подставив выражение для d из соотношения (5.21) и перегруппировав члены, получим выражение для 6,, представленное уравнением (5.12).

Итак, мы показали для случая с двумя переменными, что оценки множественной регрессии совершенно идентичны оценкам, которые мы могли бы получить при использовании двухэтапной процедуры с исключением перекрестных эффектов. Полученный результат может быть обобщен для случая к переменных.

Упражнения

2. Индекс относительной цены коммунальных услуг был получен путем деления неявного ценового дефлятора из табл. Б.2 на дефлятор общих расходов и умножения на 100. Оценка множественной регрессии между расходами на коммунальные услуги, располагаемым личным доходом и индексом относительных цен дает следующий результат:

у = -43,4 + 0,181х+ 0,137/7.

Дайте экономическую интерпретацию этого результата. Почему он не может вас удовлетворить?

3. Дополнение к упражнению 2.4. Оцените множественную регрессию между расходами на ваш товар, располагаемым личным доходом и индексом цен, построенным в упражнении 5.1, и дайте интерпретацию результатов.
4. Используя формулу (5.21), замените d в уравнении (5.22) и покажите, что можно получить выражение для bu представленное уравнением (5.12).