Общая модель

В предыдущем примере мы имели только две независимые переменные. В тех случаях, когда этих переменных более двух, уже невозможно дать геометрическое представление того, что происходит, но развитие алгебраических выкладок в принципе вполне очевидно.

у = а + р,х, + ... +Р*х* + ы.              (5.13)

Оценим уравнение для данного множества п наблюдений для у, х,, ... , хк по методу наименьших квадратов:

у = a + bxxx + ... + Ьрск.              (5.14)

Это вновь означает минимизацию суммы квадратов разностей, а отклонение в наблюдении / выражается как

«і = Уі -Уі =Уі~а~ Vi," - - W              (5-15)

Уравнение (5.15) является обобщением уравнения (5.6). Теперь мы выбираем а, Ьх, ... , Ьк так, чтобы свести к минимуму S — сумму квадратов отклонений ?е(2. Мы получаем (к+ 1) условий первого порядка 3S/da = 0, dS/dbx = 0, ..., dS/dbk = 0, что дает (к+ 1) уравнение для нахождения (к+ 1) неизвестных. Можно легко показать, что первое из этих уравнений позволяет получить аналог для уравнения (5.11), относящегося к случаю с двумя независимыми переменными:

а = у-Ьхх\\-Ь2Х2-...-Ькхк.              (5.16)

Выражения для А,, Ь2,..., Ьк становятся очень сложными, и математика не будет здесь представлена в явном виде. Вычисления целесообразнее сделать с помощью матричной алгебры, но для этого в книге не приводится теоретических или практических приложений. Для практических примеров вычисления вручную неприемлемы, и для нахождения решений следует использовать компьютер.