Линейные и нелинейные модели

Линейная форма модели в целом является более предпочтительной. Линейные модели оцениваются более простым методом наименьших квадратов. При выполнении некоторого набора гипотез оценки ОМНК для линейной модели обладают рядом хороших свойств, не выполняющихся для оценок нелинейной модели, это же относится к распределениям оценок и различных статистик.

В линейной регрессионной модели мат.

ожидание зависимой переменной — это линейная комбинация регрессоров с неизвестными коэффициентами, которые и являются оцениваемыми параметрами модели. Такая модель является линейной по виду. В матричной форме ее можно записать как Y = Xfi + є. Не обязательно, чтобы влияющие на Y факторы входили в модель линейно. Регрессорами могут быть любые точно заданные (не содержащие неизвестных параметров) функции исходных факторов - это не меняет свойств ОМНК. Важно, чтобы модель была линейной по параметрам. Бывает, что модель записана в виде, который нелинеен по параметрам, но преобразовани-

ем уравнения регрессии и переобозначением параметров можно привести ее к линейному виду. Такую модель называют внутренне линейной.

Поясним введенные понятия на примерах. Модель Y = а+ вХ1Х2 + є нелинейна по X1 и X2, но линейна по параметрам, и можно сделать замену X = X1X2, так что модель примет линейный вид: Y = а + в X + є . Модель Y = exp (а + вх + є) нелинейна по виду, но сводится к линейной логарифмированием обеих частей: lnY =а + в х + є . В этой новой модели зависимой переменной будет уже lnY. Модель Y = (a - 1) (b + X ) + є нелинейна по параметрам a и b, но сводится к линейной заменой параметров а = (a - 1) b и в= a - 1. Тогда Y = а+ eX + є.

для применения метода наименьших квадратов важно, чтобы ошибка была аддитивной, то есть, чтобы зависимая переменная являлась суммой своего математического ожидания и ошибки. Об этом следует помнить, производя преобразования модели. Например, модель Y = а Xе + є нельзя преобразовать в линейную по параметрам с аддитивной ошибкой. Аналогичную модель с мультипликативной ошибкой Y = а Xеє можно преобразовать к

виду lnY = Ыа + в lnX + ІПЄ или Y= а+ eX +є где Y = lnY, а = Ыа, X = lnX, є = ІПЄ. Однако следует отметить, что вследствие преобразования распределение ошибки изменилось. Если s оказывается нормально распределенной, это значит, что є имела логнормальное распределение.

Экономическая теория оперирует моделями разных типов. Некоторые из них дают регрессионные уравнения линейного вида, некоторые - нелинейного. Рассмотрим это на примере однородных производственных функций. Самая популярная производственная функция - функция Кобба-Дугласа - легко приводится к линейному виду логарифмированием:

= аКвЬх-в ^

lnY - lnL = Ыа+ в (lnK - lnL), где Y - выпуск продукции, K — капитал, L — труд.

<< | >>

↑

Источник: М.П.Цыплаков. Некоторые эконометрические методы.Метод максимального правдоподобия. 1997

Еще по теме Линейные и нелинейные модели:

- Инвестиции - История экономики - Основы экономики - Платежные системы - Политэкономия - Рынок ценных бумаг - Ценообразование - Эконометрика - Экономика предприятия - Экономическая теория - Экономический анализ -