§ 2е. Расширенный вариантпервой фундаментальной теоремы
В \\вп)
Q Через Зйь(Р) обозначаем множество тех мер Р из 3^(P), для которых производные Радона-Никодима — являются ограниченными сверху: dP ~ — (w) ^ С(Р) (Р-п.н.) для некоторой константы С(Р). Теореме А (первой фундаментальной теореме; § 2Ь) можно придать следующую форму: условия (В, S)-pbiHOK является безарбитражным и множество мартингальных мер ^(Р) непусто (^(Р) ф 0) равносильны. Приводимая ниже теорема А* представляет естественное расширение формулировки первой фундаментальной теоремы, давая разные эквива-лентные характеризадии безарбитражности и проясняя структуру множества мартингальных мер. Введем, прежде всего, некоторые обозначения. Пусть Q = Q (dx) - вероятностная мера на (Md, ?$(Rd)) и K(Q) - топологический носитель Q (т. е. наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена мера Q; [335; т. 5]); L(Q) - замкнутая выпуклая оболочка множества if (Q); Н(Q) - наименьшая аффинная гиперплоскость, содержащая if(Q) (ясно, что L(Q) С H(Q))-, L°(Q) - "относительная" внутренность L(Q) (в топологии гиперплоскости Н( Q)). Если, например, мера Q сосредоточена в одной точке а, то H(Q) совпадает с этой точкой и L(Q) = L°(Q) = {а}. В противном случае H(Q) имеет размерность между 1 и d. Если Н(Q) имеет размерность, равную 1, то L(Q) является замкнутым сегментом, a L°(Q) - открытым. Будем обозначать через Qn (ш, ¦) и Qn (ш, -) регулярные условные распределения Р(А5„ Є ¦ \\&п-г)(и) и Р^Д^Ц^ Є ¦ l^n^N. Отметим, что, поскольку Вп > 0, 0 ^ п ^ N, и Вп являются і-измеримыми, то множества if (Q), L(Q) и L°(Q) одни и те же для Q = Qn и Q = Qn. Теорема А* (расширенный вариант первой фундаментальной теоремы; [251]). Пусть выполнены условия теоремы А. Следующие утверждения равносильны: (В, Б)-рынок является безарбитражным; а\') (В, S)-рынок является слабо безарбитражным-, а") (В,Б)-рынок является сильно безарбитражным; множество &Ь(Р) ф 0; множество &(Р) ф 0; множество ^іос(Р) Ф 0> для всех п Є {1,2,...,N} и Р-почти всех ш Є П точка О Є L°(Qn(u>, ¦)). Сделаем прежде всего ряд общих замечаний относительно сформулированных утверждений. По поводу определений безарбитражных, слабо и сильно безарбитраж-ных рынков см. § 2а. Из леммы в § 1с, гл. II, следует, что, на самом деле, @>(Р) = ^ioc(P), и, тем самым, с) d). Далее, если свойства а), а\'), а", с) или е) выполнены относительно не-которой меры Р, эквивалентной мере Р, то они выполнены и относительно меры Р. Если свойство Ь) выполнено относительно меры Р ~ Р (т.е. — dP ^ь(Р) Ф 0) и производная — ограничена, то свойство Ь) выполнено и относительно исходной меры Р. Заметим теперь, что всегда можно найти меру Р ~ Р такую, что отно- с ^ лг dP сительно нее все величины Ьп, ті ^ N, интегрируемы и производная — тт (ІР ограничена. Достаточно, например, положить n ^ 1=1 п=1 \' где С - нормирующая константа. Тем самым, при доказательстве теоремы сразу можно предполагать, что исходная мера Р такова, что EIS,, | < оо, п ^ N. Тогда, поскольку импликации а") =Ф а) а\') и Ь) с) очевидны, то надо лишь доказать, что а\') =Ф е) Ь) и с) =ф а"). 2. Введем ряд объектов, нужных для доказательства этих трех импликаций и сформулируем два вспомогательных утверждения (леммы 1 и 2). Пусть Q = Q(dx) - некоторая мера на (Rd, SB(Rd) такая, что [ |х| Q(dx) < оо. (1) J Rd (Далее в качестве Q будут браться регулярные условные распределения Q„(w, da;), n ^ N, и для них условие (1) будет (Р-п.н.) выполнено в силу предположения Е|5„| < оо, n < N.) Пусть х\' = (x,v) Є Е = Rd х (0,оо) и Q\' = Q\'(dx\') - некоторая мера на борелевской сг-алгебре § пространства Е, ассоциированная с мерой Q = Q(dx) в том смысле, что Q есть "первый маргинал" меры Q\