§ 3d. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. II. Общий случай

Чтобынайти "правильную" форму обобщений, проанализируем еще раз проведенное выше доказательство (в условно-гауссовском случай) того, что

— 1ос —

"если Р « Р, то E(hn \\ 9п-і) = Рп => Е(hn | &n-i) = 0, п > 1\'!

Доказательство этого свойства, данное в § ЗЬ, существенно опиралось на формулу пересчета условных математических ожиданий (см.

— 1ос

которая (в предположении Р С Р) применительно к Y = Нп с Е\\Нп \\ < оо, т = п — 1, имеет такой вид:

Е(#„ | Зп-х) = —E(HnZn 19п-і) (Р-п.Н.), n> 1. (1)

Здесь E - усреднение по мере Р и правая часть считается равной нулю, если Z„_i(w) — 0. Также считаем, что = {0, ft}, ZQ(UJ) = 1.

Покажем, как из формулы (1) можно легко вывести следующий резуль-тат:

— 1ос —

"если Р«Р,шоЯе Л(Р) HZ Є Л{Р)\'; (2)

где Ж(Р) и Ж(Р) обозначают классы мартингалов по мерам Р и Р соответственно (см. § 1с, гл. II).

В самом деле, если Н є М(Р), то Е(Д"„ 13"п-\\) = -Hn-i (Р-п.н.), и из (1) следует, что Я„_і^п_і = E(HnZn | Зп-\\) (Р-п.н.). Это равенство, справедливое Р-п.н., будет справедливым и Р-п.н.

Действительно, на множестве {Zn-i = 0} и левая, и правая его части равны нулю, поскольку на этом множестве и Zn — 0 (Р-п.н.). На множестве же {Zn_ і > 0} меры РиР эквивалентны (в том смысле, что P({Z„_! > 0} П А) = 0 P({Z„_i > 0} П Л) =0 для А є и,

значит, левая и правая части указанного соотношения совпадают и по мере Р. Тем самым, импликация => в (2) доказана.

Аналогично, если HZ Є Ж(Р), то Hn-\\Zn-1 = E(H„Zn|^n_i) (Р- и Р-п.н.). Тале кале Zn_i > 0 по мере Р, то

Нп-Х = ^—Е(ffnZn | Jn_x) (Р-п.н.).

Отсюда и из формулы (1) следует, что If Є ^(Р).

Интересно отметить, что "формулу Байеса" (4) из § За (и, в частности, формулу (1)) можно вывести из импликации => в утверждении (2).

В самом деле, пусть ^„-измеримая величина Y такова, что Е|У | < оо и ~ 1ос _

р < Р.

Образуем мартингал (Нт,Зт, Р)т^„ с Нт = Е(У j Зт).

Е(YZn | — HmZm

(Р-п.н.).

В частности, Е(YZn | Jn_i) = #„_iZ„_i (Р- и Р-п.н.). Отсюда следует, что поскольку P(Zn_i > 0) = 1, то

1 E(YZn\\ ^„_1)=ЯП_1 (Р-п.н.).

Zn-

Вместе с равенством = Е(У | Jn-i) (Р-п.н.) это доказывает требуе

мую "формулу Байеса" (4) из § За в "лемме о пересчете":

"если Р << Р, то Ё(У I Jn_a) = ~^—E(YZn | Jn_x) (Р-п.н.)\'!

¦^n-l

Таким образом, свойство (2) можно рассматривать кале своеобразную "мартингальную" версию "леммы о пересчете" при абсолютно непрерывной замене меры.

2. Целесообразно результат (2), а также некоторую его "локальную" версию сформулировать в виде следующего предложения (ср. § ЗЬ, гл. III в [250]).

ІОС

Лемма. Пусть Р < Р, Z = (Zn) - процесс плотности,

7 dPn

?>Т1

n dpr

с P„ = P|J„, P„ = P|J„-

Пусть Н — (Я„, Зп) - стохастическая последовательность.

Последовательность Н является Р-мартингалом (Н Є Л(Р)) в том и только том случае, когда последовательность HZ — (HnZn,3п) является Р-мартингалом (HZ є Л(Р)), т. е. справедливы импликации (2):

H?jt{Р) «=> HZ Є Л(Р).

Если, к тому же, Р Р, то последовательность Н является локальным Р-мартингалом (Н Є Ліос{Р)) в том и только том случае, когда HZ является локальным Р-мартингалом (HZ Є Ліос(Р)):

Я єЛГіос(Р) HZ Є Люс(Р). (3)

Доказательство. а) Это утверждение уже было доказано с привлечением формулы (1) (которая интересна и сама по себе). Но его можно доказать также и непосредственно, пользуясь лишь определением мартинга-ла.

Возьмем m < п и А Є ЗРт. Тогда Е(1АНп) = E(IAZnHn) и, значит,

Е(7ЛЯП) = Ё(1АНт) ^ E{IAZnHn) = E{IAZnHm).

Но Е(IAZnHm) = Е(IAZmHm). Поэтому Я Є Л(Р) HZ є Л{Р).

Ь) Пусть (тп) - локализующая последовательность для HZ Є Л\\ос{Р) и г = lim тп.

Покажем, что HZ Є Л\\ос(Р) =$> Н Є Л^іос(Р) (даже только в предпо-

~ 1ос

ложении Р -С Р).

Пусть (т„) - локализующая последовательность для HZ. Тогда если

~ ІОС

т = limrn, то Р(т = оо) = 1 и (в силу Р Ри свойства d) теоремы в §3а) Р(т < оо) = ЕZTI(r < оо) = 0.

Тем самым, Р(т = оо) = 1.

(fr-Z)fc = H?Zk - (HkZk)Tn + нТп (Zk - ZTnI(k > rn)).

Отсюда видно, что ЯТп Z является Р-мартингалом, и, по утверждению а), Яг» є Л(Р). Но P(limrn = оо) = 1. Значит, Я Є Ліос(Р).

Обратно, покажем, что в предположении Р Р имеет место импликация Я Є Л,ос(Р) ==> HZ Є Ліос{Р).

Пусть (ап) - локализующая последовательность для Н Є -^іос(Р)- Следовательно, P(limcrn = оо) = 1 и Н"п є Ж(Р). Тогда по свойству а) H"nZ Є и поскольку (ср. с вышеприведенной формулой для

(HT"Z)k)

(HZ)? = H?Zk - Нап (Zk - ZanI(k > rn)),

то (HZ)? є ^f(P). Но, в силу P << P, вероятность P(limcrn = oo) = 1. Следовательно, HZ Є M\\oz(P). Лемма доказана.

3. Свойства (1), (2) и (3) играют фундаментальную роль в вопросах проверки мартингальности последовательностей (НП), (НП), (SN),... относительно той или иной меры Р, поскольку дают возможность свести эту проверку к установлению свойств мартингальности последовательностей (HnZn), (HnZn), (SnZn),... относительно исходной, базисной меры Р.

Этим, в сущности, мы уже пользовались при доказательстве дискретного аналога теоремы Гирсанова в условно-гауссовском случае, когда Нп = hi + ¦ ¦ • + hn и hn = цп + cr„e„, п ^ N, а конструкция мер Рjv осуществ-лялась с помощью ПЛОТНОСТИ

ЯВНО построенной ПО (/ifc) И (<7fc).

Однако в общем случае проблема построения соответствующих мер Р JV становится значительно более сложной. Простота же вида плотности ZN в условно-гауссовском случае обусловлена, в сущности, простотой задания величин Нп, для которых АНп = hn = цп + апєп.

Существуют разные формы обобщенной теоремы Гирсанова для случая дискретного времени.

Для лучшего понимания приводимых далее результатов как обобщений теоремы Гирсанова целесообразно несколько переформулировать приве-денный выше результат (теорема в § ЗЬ) для условно-гауссовского случая. Положим

«П = -^-HZn-1 > 0). (5)

Zln — l

Тогда

ап=ЄХР{"?Єп"К?)2}\' (6)

п

и если Мп = J2 akek, то М — (Мп) Є Люс(Р) и нетрудно показать, что fc=i

Е(апАМп\\&п-і) = -Рп- (7)

Тем самым, не затрагивая сейчас вопросов интегрируемости, мы можем результат теоремы в § ЗЬ для условно-гауссовского случая представить в следующем виде:

м Є ЛГіос(Р) ^ Е( СТпЄп I 9п—1 ) = 0, п < N,

<=> Е(рп + апЄп | &п-і) = Рп, П < N, ^E(hn\\3n-i) = Рп, n^N, =>Е(Лп|^»-і) = 0, n^N,

Е(АМп + Рп I = 0> n^JV, <=> Е(ДМ„ - Е(апДМ„ | ^„-i) | $п-х) =0, п ^ N.

71

Mn=Mn~Y,E(akAMk |Jfc_!), (8)

fc=і

является локальным мартингалом:

м Є JCloc(P) =>¦ М Є ^Гіос(Р)- (9)

В только что изложенном материале важно выделить следующее обсто-ятельство, связанное с тем, что здесь при рассмотрении последовательности Н = (Нп) с АНп = рп + АМп основной акцент сделан на "мартингаль- ную" составляющую у Н. По-существу, мы "отслеживали" как при абсо-лютно непрерывной замене меры изменяется мартингальная часть. Кале видим, относительно меры Р последовательность (М„) уже не будет мартингалом - она представима в виде

п

Mn = Y, ЕКЛМ* I ^fc-i) + Мп, к-1

где М = (Мп) является Р-мартингалом, а А = (Лп) - некоторый "пред-

п

сказуемый" снос с Arl = Y1 Е(акАМк \\Зк-і). Именно появление этого

к=1

дополнительного "сносового" члена при абсолютно непрерывной замене меры и дает возможность "убивания" сносовых составляющих в исходных последовательностях Н = (Нп) посредством перехода, к мерам Р таким,

~ — 1ос

что р «: р или р «: Р.

Изложенный взгляд на формулировку данного выше (для условно- гауссовского случая) дискретного варианта теоремы Гирсанова дает возможность сформулировать следующий общий результат для локальных

п

мартингалов, не конкретизируя, что Мп — а^к.

k=1

Теорема 1. Пусть последовательность М € Жіос(Р), Mo = 0.

~ loc

Предположим, что ЈРс плотностями Zn = ———, п ^ 1, и пусть

аРп

%

ап = " I(Zn_i >0) С Zq = 1. ПУСТЬ ТАКЖЕ

Е(|ДМп|а„ | < оо (Р-п.н.), п>1. (10)

Тогда определенный в (8) процесс М — (М„) Є Жіос(Р), т. е. является локальным Р-мартингалом.

Доказательство. Воспользуемся опять-таки (как и при доказательстве в условно-гауссовском случае, § ЗЬ) "формулой Байеса" (4) из § За:

Ё(Мп\\ Jn_a) = E(Mnan| Jn_x)

= Е(ап(Мп - Мп-1) | Jn_i) + E(anM„_i I ^n-i) = Е(а„ДМ„ 15Pn-\\) + M„_i- (11)

Отсюда, в силу предположения (10), (Р- и Р-п.н.)

Е(|М„| | J„_i) < E(|anAMn| I Jn_i) + |Mn_i| < оо.

Из (11) и (8) непосредственно находим, что E(|Mn| | Jn-i) < оо и

Ё(МП I — Mn_i, (12)

т.е.М- обобщенный, а, значит (§ 1с, гл.

Пусть теперь исходная последовательность Н = {Hn)n^i задается следующим образом:

ЯП = Л„+М„, (13)

где А = (An)n^i - предсказуемая последовательность (Ап - і -изме-римы, п > 1; = {0,П}, А0 = 0) иМ = (М„)„^і Є Ліос(Р)-

Поскольку для локального мартингала Е(|ДМ„| | < оо, то

EflAtfJI^n-x) < |ДЛП| +Е(| АМп || < оо, и, значит, для #„,

n > 1, справедливы представления

п п

нп = е Е(АН" і ^fc-i) + Е [ЛЯ* - Е(АНк і (14)

k=i fc=i

которые мы называли обобщенным разложением Дуба (см. § lb в гл. II) последовательности Н = (Нп)п-^\\.

Кале и в обычном разложении Дуба, представление вида (13) с предсказуемым [Ап) является единственными, следовательно, в (13)

Ап = ЁЕ(ДЯк|^-1), (15)

к=1 п

мп = е [дя* - Е(АНк і ^-i)] • (16)

k=i

Предшествующая теорема 1 допускает следующее легкое обобщение.

Теорема 2. Пусть Н = (Яп)п^і имеет обобщенное разложение Дуба (14) и выполнено условие (10).

Тогда по мере Р такой, ито Р Р, последовательность Н = (Нп)п^ допускает представление

Нп = Ап+Мп, (17)

или, равносильно,

п п

Нп = Е Ё(АНк | Sfc.x) + Е 1АНк ~ Е(АН* I ^fc-i)] (18) к=1 к=1

(обобщенное разложение Дуба), где

п

An=An + J2 ЦакАМк | ^fc_i), (19)

fc=i

а последовательность М = (Мп),

п

Mn - Мп - Е E(afcA^fc | Jfc.x), (20)

k=l

является локальным Р-мартингалом (М Є ^Йіос(Р))-

Доказательство следует из теоремы 1, примененной к М = (Mn)n^j с Мп = Нп- Ап.

6. В условиях теоремы 2 предположим, что М и Z являются (локально) квадратично интегрируемыми мартингалами. В этом предположении определена их предсказуемая квадратическая ковариация {M,Z) = {(M,Z)n)n^0,vm

п

(М, Z)„ = ? Е{AMkAZk І (21)

k-1

которая в § 5b, гл. Ill, называлась взаимной "угловой скобкой" М и Z. Напомним также, что квадратической ковариацией (взаимной квадратной скобкой) между последовательностями X = {Хп)п^о и Y = (Уп)п^о называлась последовательность [X, Y] = ([X, У]п)п^о величин

п

к=1

Из (21) и (22) следует, что в случае (локально) квадратично интегрируемых мартингалов разность [М, Z] — (М, Z) является локальным мартингалом.

—~ = ~ = Е[(«п - 1)АМп | Jvj-IJ

¦^п—1 ^п-1

= Е[а„ДМ„ | Jn_i]. (23)

Заметим, что если квадратическая характеристика (М) (= (М,М)) такова, что (М)п(ш) — 0, то и (М, Z)n(aj) = 0. Поэтому левую часть в (23) можно представить в виде

^?к = -а„Д(М)„, (24,

ТІ — 1

где

A (M,Z)n

а п = --

n-l

A (M)„Z,

считая " равным, скажем, единице, если А(М)п = 0.

Таким образом, (19) можно записать в виде

п

An = Ап - Е акА(М)к. (25)

к=1

Отсюда можно сделать интересный вывод о структуре (по мере Р) исходной последовательности Н: если относительно меры Р Р эта последовательность становится локальным мартингалом (А — 0), то, необходимым образом,

п

Я„ = Е аkA{M)k +Мп, 1, (26)

к=1

или, в терминах приращений,

АЯ„ = о„А(М)„ + АМп, п > 1. (27)

7. До сих пор все наши рассуждения исходили из наличия меры Р без конкретизации ее структуры или структуры последовательности а ~ (ап), определяющей производные Радона-Никодима:

jn "

aKn fc=1 Из (23) и (24) видим, что

а„А(М)„ =Е[(1-ап)ДМ„|^п_1], (29)

откуда можно усмотреть, что у этого соотношения, рассматриваемо-го как уравнение относительно (^у,-измеримых) ап, есть следующее (вообще говоря, неединственное) решение:

ап = 1-апАМп. (30)

Разумеется, что для наших пелей нас устраивают лишь только такие решения ап, для которых Р(а„ > 0) = 1, п ^ 1. Если это так, то тогда

= n(l-afcAMfc)=«f(-53afcAMfc) , (31)

где § = (S(R)n = eRn П(1 + ARk)e~ARk = Ц (1 + ARk). (32)

кіСп к^п

Пусть Р-вероятностная мера, для которой ее сужения Рп = Р | строятся по формулам (31). Относительно этой меры исходная последовательность Я = (Нп), подчиняющаяся соотношениям (27), становится локальным мартингалом,поскольку ААп — апА(М)п + Е(апАМп | Jn-i) = О, п > 1, и AQ = 0.

Кале отмечалось выше, эта вероятностная мера Р, называемая мартин- гальной (риск-нейтральной) мерой, вообще говоря, не единственна. Однако она имеет определенные преимущества: во-первых, явно строится по коэффициентам о = (о„); во-вторых, обладает некоторыми свойствами "минимальности" которые оправдывают для нее название минимальной мартингальной меры, [429]. (См. также п. 6, §3d, гл. VI.)